Математический анализ Примеры

$a^{3} y = x^{2} (2 a^{2} - x^{2})$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (a^{3} y) = \frac{d}{d x} (x^{2} (2 a^{2} - x^{2}))$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $a^{3}$ является константой относительно $x$ , производная $a^{3} y$ по $x$ равна $a^{3} \frac{d}{d x} [y]$ .

$a^{3} \frac{d}{d x} [y]$

Этап 2.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$a^{3} y'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = 2 a^{2} - x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [2 a^{2} - x^{2}] + (2 a^{2} - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 3.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

По правилу суммы производная $2 a^{2} - x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 a^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$x^{2} (\frac{d}{d x} [2 a^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (2 a^{2} - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 3.2.2

Поскольку $2 a^{2}$ является константой относительно $x$ , производная $2 a^{2}$ относительно $x$ равна $0$ .

$x^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (2 a^{2} - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 3.2.3

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [- x^{2}] + (2 a^{2} - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 3.2.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{2}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x^{2} (- \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (2 a^{2} - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 3.2.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$x^{2} (- (2 x)) + (2 a^{2} - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 3.2.6

Умножим $2$ на $- 1$ .

$x^{2} (- 2 x) + (2 a^{2} - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 3.3

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Перенесем $x$ .

$x \cdot x^{2} \cdot - 2 + (2 a^{2} - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 3.3.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$x^{1} x^{2} \cdot - 2 + (2 a^{2} - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 3.3.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x^{1 + 2} \cdot - 2 + (2 a^{2} - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 3.3.3

Добавим $1$ и $2$ .

$x^{3} \cdot - 2 + (2 a^{2} - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 3.4

Перенесем $- 2$ влево от $x^{3}$ .

$- 2 \cdot x^{3} + (2 a^{2} - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- 2 x^{3} + (2 a^{2} - x^{2}) (2 x)$

Этап 3.6

Перенесем $2$ влево от $2 a^{2} - x^{2}$ .

$- 2 x^{3} + 2 \cdot (2 a^{2} - x^{2}) x$

Этап 3.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- 2 x^{3} + (2 (2 a^{2}) + 2 (- x^{2})) x$

Этап 3.7.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- 2 x^{3} + 2 (2 a^{2}) x + 2 (- x^{2}) x$

Этап 3.7.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.3.1

Умножим $2$ на $2$ .

$- 2 x^{3} + 4 a^{2} x + 2 (- x^{2}) x$

Этап 3.7.3.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- 2 x^{3} + 4 a^{2} x - 2 x^{2} x$

Этап 3.7.3.3

Возведем $x$ в степень $1$ .

$- 2 x^{3} + 4 a^{2} x - 2 (x^{1} x^{2})$

Этап 3.7.3.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- 2 x^{3} + 4 a^{2} x - 2 x^{1 + 2}$

Этап 3.7.3.5

Добавим $1$ и $2$ .

$- 2 x^{3} + 4 a^{2} x - 2 x^{3}$

Этап 3.7.3.6

Вычтем $2 x^{3}$ из $- 2 x^{3}$ .

$- 4 x^{3} + 4 a^{2} x$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$a^{3} y' = - 4 x^{3} + 4 a^{2} x$

Этап 5

Разделим каждый член $a^{3} y' = - 4 x^{3} + 4 a^{2} x$ на $a^{3}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Разделим каждый член $a^{3} y' = - 4 x^{3} + 4 a^{2} x$ на $a^{3}$ .

$\frac{a^{3} y'}{a^{3}} = \frac{- 4 x^{3}}{a^{3}} + \frac{4 a^{2} x}{a^{3}}$

Этап 5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Сократим общий множитель $a^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{a^{3} y'}{a^{3}} = \frac{- 4 x^{3}}{a^{3}} + \frac{4 a^{2} x}{a^{3}}$

Этап 5.2.1.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{- 4 x^{3}}{a^{3}} + \frac{4 a^{2} x}{a^{3}}$

Этап 5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{4 x^{3}}{a^{3}} + \frac{4 a^{2} x}{a^{3}}$

Этап 5.3.1.2

Сократим общий множитель $a^{2}$ и $a^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.2.1

Вынесем множитель $a^{2}$ из $4 a^{2} x$ .

$y' = - \frac{4 x^{3}}{a^{3}} + \frac{a^{2} (4 x)}{a^{3}}$

Этап 5.3.1.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.2.2.1

Вынесем множитель $a^{2}$ из $a^{3}$ .

$y' = - \frac{4 x^{3}}{a^{3}} + \frac{a^{2} (4 x)}{a^{2} a}$

Этап 5.3.1.2.2.2

Сократим общий множитель.

$y' = - \frac{4 x^{3}}{a^{3}} + \frac{a^{2} (4 x)}{a^{2} a}$

Этап 5.3.1.2.2.3

Перепишем это выражение.

$y' = - \frac{4 x^{3}}{a^{3}} + \frac{4 x}{a}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{4 x^{3}}{a^{3}} + \frac{4 x}{a}$