Математический анализ Примеры

$y = 1 - 3 \sin (\frac{2}{3} x)$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $1 - 3 \sin (\frac{2}{3} x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (\frac{2}{3} x)]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (\frac{2}{3} x)]$

Этап 1.1.2

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (\frac{2}{3} x)]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 3 \sin (\frac{2}{3} x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Объединим $\frac{2}{3}$ и $x$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (\frac{2 x}{3})]$

Этап 1.2.2

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3 \sin (\frac{2 x}{3})$ по $x$ равна $- 3 \frac{d}{d x} [\sin (\frac{2 x}{3})]$ .

$0 - 3 \frac{d}{d x} [\sin (\frac{2 x}{3})]$

Этап 1.2.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \sin (x)$ и $g (x) = \frac{2 x}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\frac{2 x}{3}$ .

$0 - 3 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [\frac{2 x}{3}])$

Этап 1.2.3.2

Производная $\sin (u)$ по $u$ равна $\cos (u)$ .

$0 - 3 (\cos (u) \frac{d}{d x} [\frac{2 x}{3}])$

Этап 1.2.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $\frac{2 x}{3}$ .

$0 - 3 (\cos (\frac{2 x}{3}) \frac{d}{d x} [\frac{2 x}{3}])$

Этап 1.2.4

Поскольку $\frac{2}{3}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{2 x}{3}$ по $x$ равна $\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 3 (\cos (\frac{2 x}{3}) (\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x]))$

Этап 1.2.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$0 - 3 (\cos (\frac{2 x}{3}) (\frac{2}{3} \cdot 1))$

Этап 1.2.6

Умножим $\frac{2}{3}$ на $1$ .

$0 - 3 (\cos (\frac{2 x}{3}) \frac{2}{3})$

Этап 1.2.7

Объединим $\cos (\frac{2 x}{3})$ и $\frac{2}{3}$ .

$0 - 3 \frac{\cos (\frac{2 x}{3}) \cdot 2}{3}$

Этап 1.2.8

Перенесем $2$ влево от $\cos (\frac{2 x}{3})$ .

$0 - 3 \frac{2 \cdot \cos (\frac{2 x}{3})}{3}$

Этап 1.2.9

Объединим $- 3$ и $\frac{2 \cos (\frac{2 x}{3})}{3}$ .

$0 + \frac{- 3 (2 \cos (\frac{2 x}{3}))}{3}$

Этап 1.2.10

Умножим $2$ на $- 3$ .

$0 + \frac{- 6 \cos (\frac{2 x}{3})}{3}$

Этап 1.2.11

Сократим общий множитель $- 6$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.11.1

Вынесем множитель $3$ из $- 6 \cos (\frac{2 x}{3})$ .

$0 + \frac{3 (- 2 \cos (\frac{2 x}{3}))}{3}$

Этап 1.2.11.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.11.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$0 + \frac{3 (- 2 \cos (\frac{2 x}{3}))}{3 (1)}$

Этап 1.2.11.2.2

Сократим общий множитель.

$0 + \frac{3 (- 2 \cos (\frac{2 x}{3}))}{3 \cdot 1}$

Этап 1.2.11.2.3

Перепишем это выражение.

$0 + \frac{- 2 \cos (\frac{2 x}{3})}{1}$

Этап 1.2.11.2.4

Разделим $- 2 \cos (\frac{2 x}{3})$ на $1$ .

$0 - 2 \cos (\frac{2 x}{3})$

Этап 1.3

Вычтем $2 \cos (\frac{2 x}{3})$ из $0$ .

$- 2 \cos (\frac{2 x}{3})$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 \cos (\frac{2 x}{3})$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [\cos (\frac{2 x}{3})]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} \cos (\frac{2 x}{3})$

Этап 2.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\frac{2 x}{3}$ .

$f'' (x) = - 2 (\frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d x} (\frac{2 x}{3}))$

Этап 2.2.2

Производная $\cos (u)$ по $u$ равна $- \sin (u)$ .

$f'' (x) = - 2 (- \sin (u) \frac{d}{d x} \frac{2 x}{3})$

Этап 2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $\frac{2 x}{3}$ .

$f'' (x) = - 2 (- \sin (\frac{2 x}{3}) \frac{d}{d x} \frac{2 x}{3})$

Этап 2.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$f'' (x) = 2 (\sin (\frac{2 x}{3}) \frac{d}{d x} (\frac{2 x}{3}))$

Этап 2.3.2

Поскольку $\frac{2}{3}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{2 x}{3}$ по $x$ равна $\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 2 \sin (\frac{2 x}{3}) (\frac{2}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x))$

Этап 2.3.3

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Объединим $\frac{2}{3}$ и $2$ .

$f'' (x) = \frac{2 \cdot 2}{3} \cdot \sin (\frac{2 x}{3}) \frac{d}{d x} (x)$

Этап 2.3.3.2

Умножим $2$ на $2$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \sin (\frac{2 x}{3}) \frac{d}{d x} (x)$

Этап 2.3.3.3

Объединим $\frac{4}{3}$ и $\sin (\frac{2 x}{3})$ .

$f'' (x) = \frac{4 \sin (\frac{2 x}{3})}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x)$

Этап 2.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{4 \sin (\frac{2 x}{3})}{3} \cdot 1$

Этап 2.3.5

Умножим $\frac{4 \sin (\frac{2 x}{3})}{3}$ на $1$ .

$f'' (x) = \frac{4 \sin (\frac{2 x}{3})}{3}$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$- 2 \cos (\frac{2 x}{3}) = 0$

Этап 4

Разделим каждый член $- 2 \cos (\frac{2 x}{3}) = 0$ на $- 2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Разделим каждый член $- 2 \cos (\frac{2 x}{3}) = 0$ на $- 2$ .

$\frac{- 2 \cos (\frac{2 x}{3})}{- 2} = \frac{0}{- 2}$

Этап 4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Сократим общий множитель $- 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 2 \cos (\frac{2 x}{3})}{- 2} = \frac{0}{- 2}$

Этап 4.2.1.2

Разделим $\cos (\frac{2 x}{3})$ на $1$ .

$\cos (\frac{2 x}{3}) = \frac{0}{- 2}$

Этап 4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Разделим $0$ на $- 2$ .

$\cos (\frac{2 x}{3}) = 0$

Этап 5

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$\frac{2 x}{3} = \arccos (0)$

Этап 6

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Точное значение $\arccos (0)$ : $\frac{π}{2}$ .

$\frac{2 x}{3} = \frac{π}{2}$

Этап 7

Умножим обе части уравнения на $\frac{3}{2}$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2 x}{3} = \frac{3}{2} \cdot \frac{π}{2}$

Этап 8

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Упростим $\frac{3}{2} \cdot \frac{2 x}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2 x}{3} = \frac{3}{2} \cdot \frac{π}{2}$

Этап 8.1.1.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{2} (2 x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{π}{2}$

Этап 8.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x$ .

$\frac{1}{2} (2 (x)) = \frac{3}{2} \cdot \frac{π}{2}$

Этап 8.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{2} (2 x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{π}{2}$

Этап 8.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$x = \frac{3}{2} \cdot \frac{π}{2}$

Этап 8.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Умножим $\frac{3}{2} \cdot \frac{π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Умножим $\frac{3}{2}$ на $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{3 π}{2 \cdot 2}$

Этап 8.2.1.2

Умножим $2$ на $2$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Этап 9

Функция косинуса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$\frac{2 x}{3} = 2 π - \frac{π}{2}$

Этап 10

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Умножим обе части уравнения на $\frac{3}{2}$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2 x}{3} = \frac{3}{2} (2 π - \frac{π}{2})$

Этап 10.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.1

Упростим $\frac{3}{2} \cdot \frac{2 x}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.1.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2 x}{3} = \frac{3}{2} (2 π - \frac{π}{2})$

Этап 10.2.1.1.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{2} (2 x) = \frac{3}{2} (2 π - \frac{π}{2})$

Этап 10.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x$ .

$\frac{1}{2} (2 (x)) = \frac{3}{2} (2 π - \frac{π}{2})$

Этап 10.2.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{2} (2 x) = \frac{3}{2} (2 π - \frac{π}{2})$

Этап 10.2.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$x = \frac{3}{2} (2 π - \frac{π}{2})$

Этап 10.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.1

Упростим $\frac{3}{2} (2 π - \frac{π}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.1.1

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{3}{2} (2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2})$

Этап 10.2.2.1.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.1.2.1

Объединим $2 π$ и $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{3}{2} (\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2})$

Этап 10.2.2.1.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{3}{2} \cdot \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Этап 10.2.2.1.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.1.3.1

Умножим $2$ на $2$ .

$x = \frac{3}{2} \cdot \frac{4 π - π}{2}$

Этап 10.2.2.1.3.2

Вычтем $π$ из $4 π$ .

$x = \frac{3}{2} \cdot \frac{3 π}{2}$

Этап 10.2.2.1.4

Умножим $\frac{3}{2} \cdot \frac{3 π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.1.4.1

Умножим $\frac{3}{2}$ на $\frac{3 π}{2}$ .

$x = \frac{3 (3 π)}{2 \cdot 2}$

Этап 10.2.2.1.4.2

Умножим $3$ на $3$ .

$x = \frac{9 π}{2 \cdot 2}$

Этап 10.2.2.1.4.3

Умножим $2$ на $2$ .

$x = \frac{9 π}{4}$

Этап 11

Решение уравнения $\frac{2 x}{3} = \frac{π}{2}$ .

$x = \frac{3 π}{4}, \frac{9 π}{4}$

Этап 12

Найдем вторую производную в $x = \frac{3 π}{4}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$\frac{4 \sin (\frac{2 (\frac{3 π}{4})}{3})}{3}$

Этап 13

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Объединим $2$ и $\frac{3 π}{4}$ .

$\frac{4 \sin (\frac{\frac{2 (3 π)}{4}}{3})}{3}$

Этап 13.2

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{4 \sin (\frac{\frac{6 π}{4}}{3})}{3}$

Этап 13.3

Сократим выражение $\frac{6 π}{4}$ путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.3.1

Вынесем множитель $2$ из $6 π$ .

$\frac{4 \sin (\frac{\frac{2 (3 π)}{4}}{3})}{3}$

Этап 13.3.2

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{4 \sin (\frac{\frac{2 (3 π)}{2 (2)}}{3})}{3}$

Этап 13.3.3

Сократим общий множитель.

$\frac{4 \sin (\frac{\frac{2 (3 π)}{2 \cdot 2}}{3})}{3}$

Этап 13.3.4

Перепишем это выражение.

$\frac{4 \sin (\frac{\frac{3 π}{2}}{3})}{3}$

Этап 13.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.4.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{4 \sin (\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{3})}{3}$

Этап 13.4.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.4.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3 π$ .

$\frac{4 \sin (\frac{3 (π)}{2} \cdot \frac{1}{3})}{3}$

Этап 13.4.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{4 \sin (\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{3})}{3}$

Этап 13.4.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{4 \sin (\frac{π}{2})}{3}$

Этап 13.4.3

Точное значение $\sin (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$\frac{4 \cdot 1}{3}$

Этап 13.5

Умножим $4$ на $1$ .

$\frac{4}{3}$

Этап 14

$x = \frac{3 π}{4}$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = \frac{3 π}{4}$ — локальный минимум

Этап 15

Найдем значение y, если $x = \frac{3 π}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{3 π}{4}$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = 1 - 3 \sin (\frac{2}{3} \cdot (\frac{3 π}{4}))$

Этап 15.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.1.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = 1 - 3 \sin (\frac{2}{3} \cdot \frac{3 π}{2 (2)})$

Этап 15.2.1.1.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{3 π}{4}) = 1 - 3 \sin (\frac{2}{3} \cdot \frac{3 π}{2 \cdot 2})$

Этап 15.2.1.1.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{3 π}{4}) = 1 - 3 \sin (\frac{1}{3} \cdot \frac{3 π}{2})$

Этап 15.2.1.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3 π$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = 1 - 3 \sin (\frac{1}{3} \cdot \frac{3 (π)}{2})$

Этап 15.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{3 π}{4}) = 1 - 3 \sin (\frac{1}{3} \cdot \frac{3 π}{2})$

Этап 15.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{3 π}{4}) = 1 - 3 \sin (\frac{π}{2})$

Этап 15.2.1.3

Точное значение $\sin (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = 1 - 3 \cdot 1$

Этап 15.2.1.4

Умножим $- 3$ на $1$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = 1 - 3$

Этап 15.2.2

Вычтем $3$ из $1$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = - 2$

Этап 15.2.3

Окончательный ответ: $- 2$ .

$y = - 2$

Этап 16

Найдем вторую производную в $x = \frac{9 π}{4}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$\frac{4 \sin (\frac{2 (\frac{9 π}{4})}{3})}{3}$

Этап 17

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1

Объединим $2$ и $\frac{9 π}{4}$ .

$\frac{4 \sin (\frac{\frac{2 (9 π)}{4}}{3})}{3}$

Этап 17.2

Умножим $2$ на $9$ .

$\frac{4 \sin (\frac{\frac{18 π}{4}}{3})}{3}$

Этап 17.3

Сократим выражение $\frac{18 π}{4}$ путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.3.1

Вынесем множитель $2$ из $18 π$ .

$\frac{4 \sin (\frac{\frac{2 (9 π)}{4}}{3})}{3}$

Этап 17.3.2

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{4 \sin (\frac{\frac{2 (9 π)}{2 (2)}}{3})}{3}$

Этап 17.3.3

Сократим общий множитель.

$\frac{4 \sin (\frac{\frac{2 (9 π)}{2 \cdot 2}}{3})}{3}$

Этап 17.3.4

Перепишем это выражение.

$\frac{4 \sin (\frac{\frac{9 π}{2}}{3})}{3}$

Этап 17.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.4.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{4 \sin (\frac{9 π}{2} \cdot \frac{1}{3})}{3}$

Этап 17.4.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.4.2.1

Вынесем множитель $3$ из $9 π$ .

$\frac{4 \sin (\frac{3 (3 π)}{2} \cdot \frac{1}{3})}{3}$

Этап 17.4.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{4 \sin (\frac{3 (3 π)}{2} \cdot \frac{1}{3})}{3}$

Этап 17.4.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{4 \sin (\frac{3 π}{2})}{3}$

Этап 17.4.3

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как синус отрицательный в четвертом квадранте.

$\frac{4 (- \sin (\frac{π}{2}))}{3}$

Этап 17.4.4

Точное значение $\sin (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$\frac{4 (- 1 \cdot 1)}{3}$

Этап 17.4.5

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{4 \cdot - 1}{3}$

Этап 17.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.5.1

Умножим $4$ на $- 1$ .

$\frac{- 4}{3}$

Этап 17.5.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{4}{3}$

Этап 18

$x = \frac{9 π}{4}$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = \frac{9 π}{4}$ — локальный максимум

Этап 19

Найдем значение y, если $x = \frac{9 π}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{9 π}{4}$ .

$f (\frac{9 π}{4}) = 1 - 3 \sin (\frac{2}{3} \cdot (\frac{9 π}{4}))$

Этап 19.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1.1.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$f (\frac{9 π}{4}) = 1 - 3 \sin (\frac{2}{3} \cdot \frac{9 π}{2 (2)})$

Этап 19.2.1.1.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{9 π}{4}) = 1 - 3 \sin (\frac{2}{3} \cdot \frac{9 π}{2 \cdot 2})$

Этап 19.2.1.1.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{9 π}{4}) = 1 - 3 \sin (\frac{1}{3} \cdot \frac{9 π}{2})$

Этап 19.2.1.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1.2.1

Вынесем множитель $3$ из $9 π$ .

$f (\frac{9 π}{4}) = 1 - 3 \sin (\frac{1}{3} \cdot \frac{3 (3 π)}{2})$

Этап 19.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{9 π}{4}) = 1 - 3 \sin (\frac{1}{3} \cdot \frac{3 (3 π)}{2})$

Этап 19.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{9 π}{4}) = 1 - 3 \sin (\frac{3 π}{2})$

Этап 19.2.1.3

$f (\frac{9 π}{4}) = 1 - 3 (- \sin (\frac{π}{2}))$

Этап 19.2.1.4

Точное значение $\sin (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$f (\frac{9 π}{4}) = 1 - 3 (- 1 \cdot 1)$

Этап 19.2.1.5

Умножим $- 3 (- 1 \cdot 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1.5.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f (\frac{9 π}{4}) = 1 - 3 \cdot - 1$

Этап 19.2.1.5.2

Умножим $- 3$ на $- 1$ .

$f (\frac{9 π}{4}) = 1 + 3$

Этап 19.2.2

Добавим $1$ и $3$ .

$f (\frac{9 π}{4}) = 4$

Этап 19.2.3

Окончательный ответ: $4$ .

$y = 4$

Этап 20

Это локальные экстремумы $f (x) = 1 - 3 \sin (\frac{2}{3} x)$ .

$(\frac{3 π}{4}, - 2)$ — локальный минимум

$(\frac{9 π}{4}, 4)$ — локальный максимум

Этап 21