Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{2}{x}$ at $(5, \frac{2}{5})$

Этап 1

Найдем первую производную и вычислим ее значения в точках $x = 5$ и $y = \frac{2}{5}$ , чтобы найти угловой коэффициент касательной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{2}{x}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Этап 1.2

Перепишем $\frac{1}{x}$ в виде $x^{- 1}$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Этап 1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$2 (- x^{- 2})$

Этап 1.4

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- 2 x^{- 2}$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 \frac{1}{x^{2}}$

Этап 1.5.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.1

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{- 2}{x^{2}}$

Этап 1.5.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{2}{x^{2}}$

Этап 1.6

Найдем производную в $x = 5$ .

$- \frac{2}{{(5)}^{2}}$

Этап 1.7

Возведем $5$ в степень $2$ .

$- \frac{2}{25}$

Этап 2

Подставим угловой коэффициент и координаты точки в уравнение прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой и решим его относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Используем угловой коэффициент $- \frac{2}{25}$ и координаты заданной точки $(5, \frac{2}{5})$ вместо $x_{1}$ и $y_{1}$ в уравнении прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , выведенном из уравнения с угловым коэффициентом $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{2}{5}) = - \frac{2}{25} \cdot (x - (5))$

Этап 2.2

Упростим уравнение и оставим его в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой.

$y - \frac{2}{5} = - \frac{2}{25} \cdot (x - 5)$

Этап 2.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим $- \frac{2}{25} \cdot (x - 5)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Перепишем.

$y - \frac{2}{5} = 0 + 0 - \frac{2}{25} \cdot (x - 5)$

Этап 2.3.1.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y - \frac{2}{5} = - \frac{2}{25} x - \frac{2}{25} \cdot - 5$

Этап 2.3.1.2.2

Объединим $x$ и $\frac{2}{25}$ .

$y - \frac{2}{5} = - \frac{x \cdot 2}{25} - \frac{2}{25} \cdot - 5$

Этап 2.3.1.2.3

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.2.3.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{2}{25}$ в числитель.

$y - \frac{2}{5} = - \frac{x \cdot 2}{25} + \frac{- 2}{25} \cdot - 5$

Этап 2.3.1.2.3.2

Вынесем множитель $5$ из $25$ .

$y - \frac{2}{5} = - \frac{x \cdot 2}{25} + \frac{- 2}{5 (5)} \cdot - 5$

Этап 2.3.1.2.3.3

Вынесем множитель $5$ из $- 5$ .

$y - \frac{2}{5} = - \frac{x \cdot 2}{25} + \frac{- 2}{5 \cdot 5} \cdot (5 \cdot - 1)$

Этап 2.3.1.2.3.4

Сократим общий множитель.

$y - \frac{2}{5} = - \frac{x \cdot 2}{25} + \frac{- 2}{5 \cdot 5} \cdot (5 \cdot - 1)$

Этап 2.3.1.2.3.5

Перепишем это выражение.

$y - \frac{2}{5} = - \frac{x \cdot 2}{25} + \frac{- 2}{5} \cdot - 1$

Этап 2.3.1.2.4

Объединим $\frac{- 2}{5}$ и $- 1$ .

$y - \frac{2}{5} = - \frac{x \cdot 2}{25} + \frac{- 2 \cdot - 1}{5}$

Этап 2.3.1.2.5

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$y - \frac{2}{5} = - \frac{x \cdot 2}{25} + \frac{2}{5}$

Этап 2.3.1.3

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$y - \frac{2}{5} = - \frac{2 x}{25} + \frac{2}{5}$

Этап 2.3.2

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Добавим $\frac{2}{5}$ к обеим частям уравнения.

$y = - \frac{2 x}{25} + \frac{2}{5} + \frac{2}{5}$

Этап 2.3.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{- 2 x}{25} + \frac{2 + 2}{5}$

Этап 2.3.2.3

Добавим $2$ и $2$ .

$y = \frac{- 2 x}{25} + \frac{4}{5}$

Этап 2.3.2.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - \frac{2 x}{25} + \frac{4}{5}$

Этап 2.3.3

Запишем в форме $y = m x + b$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Изменим порядок членов.

$y = - (\frac{2}{25} x) + \frac{4}{5}$

Этап 2.3.3.2

Избавимся от скобок.

$y = - \frac{2}{25} x + \frac{4}{5}$

Этап 3