Математический анализ Примеры

$y = - \frac{1}{2} x^{4} + 3 x^{\frac{5}{3}} + 2 x$

Этап 1

По правилу суммы производная $- \frac{1}{2} x^{4} + 3 x^{\frac{5}{3}} + 2 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [3 x^{\frac{5}{3}}] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [3 x^{\frac{5}{3}}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $- \frac{1}{2}$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{1}{2} x^{4}$ по $x$ равна $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [3 x^{\frac{5}{3}}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$- \frac{1}{2} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [3 x^{\frac{5}{3}}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 2.3

Умножим $4$ на $- 1$ .

$- 4 (\frac{1}{2}) x^{3} + \frac{d}{d x} [3 x^{\frac{5}{3}}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 2.4

Объединим $- 4$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{- 4}{2} x^{3} + \frac{d}{d x} [3 x^{\frac{5}{3}}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 2.5

Объединим $\frac{- 4}{2}$ и $x^{3}$ .

$\frac{- 4 x^{3}}{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{\frac{5}{3}}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 2.6

Сократим общий множитель $- 4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Вынесем множитель $2$ из $- 4 x^{3}$ .

$\frac{2 (- 2 x^{3})}{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{\frac{5}{3}}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 2.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 (- 2 x^{3})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [3 x^{\frac{5}{3}}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 2.6.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (- 2 x^{3})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [3 x^{\frac{5}{3}}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 2.6.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- 2 x^{3}}{1} + \frac{d}{d x} [3 x^{\frac{5}{3}}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 2.6.2.4

Разделим $- 2 x^{3}$ на $1$ .

$- 2 x^{3} + \frac{d}{d x} [3 x^{\frac{5}{3}}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x^{\frac{5}{3}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{\frac{5}{3}}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{3}}]$ .

$- 2 x^{3} + 3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{3}}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{5}{3}$ .

$- 2 x^{3} + 3 (\frac{5}{3} x^{\frac{5}{3} - 1}) + \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 3.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$- 2 x^{3} + 3 (\frac{5}{3} x^{\frac{5}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}) + \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 3.4

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$- 2 x^{3} + 3 (\frac{5}{3} x^{\frac{5}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 3.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$- 2 x^{3} + 3 (\frac{5}{3} x^{\frac{5 - 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 3.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$- 2 x^{3} + 3 (\frac{5}{3} x^{\frac{5 - 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 3.6.2

Вычтем $3$ из $5$ .

$- 2 x^{3} + 3 (\frac{5}{3} x^{\frac{2}{3}}) + \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 3.7

Объединим $\frac{5}{3}$ и $x^{\frac{2}{3}}$ .

$- 2 x^{3} + 3 \frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 3.8

Объединим $3$ и $\frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3}$ .

$- 2 x^{3} + \frac{3 (5 x^{\frac{2}{3}})}{3} + \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 3.9

Умножим $5$ на $3$ .

$- 2 x^{3} + \frac{15 x^{\frac{2}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 3.10

Вынесем множитель $3$ из $15 x^{\frac{2}{3}}$ .

$- 2 x^{3} + \frac{3 (5 x^{\frac{2}{3}})}{3} + \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 3.11

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$- 2 x^{3} + \frac{3 (5 x^{\frac{2}{3}})}{3 (1)} + \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 3.11.2

Сократим общий множитель.

$- 2 x^{3} + \frac{3 (5 x^{\frac{2}{3}})}{3 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 3.11.3

Перепишем это выражение.

$- 2 x^{3} + \frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{1} + \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 3.11.4

Разделим $5 x^{\frac{2}{3}}$ на $1$ .

$- 2 x^{3} + 5 x^{\frac{2}{3}} + \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 x^{3} + 5 x^{\frac{2}{3}} + 2 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 2 x^{3} + 5 x^{\frac{2}{3}} + 2 \cdot 1$

Этап 4.3

Умножим $2$ на $1$ .

$- 2 x^{3} + 5 x^{\frac{2}{3}} + 2$