Математический анализ Примеры

$\frac{4 x - 1}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Этап 1

Запишем $\frac{4 x - 1}{{(2 x - 1)}^{2}}$ в виде функции.

$f (x) = \frac{4 x - 1}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int \frac{4 x - 1}{{(2 x - 1)}^{2}} d x$

Этап 4

Запишем дробь, используя разложение на элементарные дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Разложим дробь и умножим на общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Для каждого множителя в знаменателе создадим новую дробь, используя множитель в качестве знаменателя, а неизвестное значение — в качестве числителя. Поскольку множитель в знаменателе линейный, поместим одну переменную на его место $A$ .

$\frac{A}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Этап 4.1.2

$\frac{A}{{(2 x - 1)}^{2}} + \frac{B}{2 x - 1}$

Этап 4.1.3

Умножим каждую дробь в уравнении на знаменатель исходного выражения. В этом случае знаменатель равен ${(2 x - 1)}^{2}$ .

$\frac{(4 x - 1) {(2 x - 1)}^{2}}{{(2 x - 1)}^{2}} = \frac{(A) {(2 x - 1)}^{2}}{{(2 x - 1)}^{2}} + \frac{(B) {(2 x - 1)}^{2}}{2 x - 1}$

Этап 4.1.4

Сократим общий множитель ${(2 x - 1)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(4 x - 1) {(2 x - 1)}^{2}}{{(2 x - 1)}^{2}} = \frac{(A) {(2 x - 1)}^{2}}{{(2 x - 1)}^{2}} + \frac{(B) {(2 x - 1)}^{2}}{2 x - 1}$

Этап 4.1.4.2

Разделим $4 x - 1$ на $1$ .

$4 x - 1 = \frac{(A) {(2 x - 1)}^{2}}{{(2 x - 1)}^{2}} + \frac{(B) {(2 x - 1)}^{2}}{2 x - 1}$

Этап 4.1.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.1

Сократим общий множитель ${(2 x - 1)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.1.1

Сократим общий множитель.

$4 x - 1 = \frac{A {(2 x - 1)}^{2}}{{(2 x - 1)}^{2}} + \frac{(B) {(2 x - 1)}^{2}}{2 x - 1}$

Этап 4.1.5.1.2

Разделим $A$ на $1$ .

$4 x - 1 = A + \frac{(B) {(2 x - 1)}^{2}}{2 x - 1}$

Этап 4.1.5.2

Сократим общий множитель ${(2 x - 1)}^{2}$ и $2 x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.2.1

Вынесем множитель $2 x - 1$ из $(B) {(2 x - 1)}^{2}$ .

$4 x - 1 = A + \frac{(2 x - 1) (B (2 x - 1))}{2 x - 1}$

Этап 4.1.5.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.2.2.1

Умножим на $1$ .

$4 x - 1 = A + \frac{(2 x - 1) (B (2 x - 1))}{(2 x - 1) \cdot 1}$

Этап 4.1.5.2.2.2

Сократим общий множитель.

$4 x - 1 = A + \frac{(2 x - 1) (B (2 x - 1))}{(2 x - 1) \cdot 1}$

Этап 4.1.5.2.2.3

Перепишем это выражение.

$4 x - 1 = A + \frac{B (2 x - 1)}{1}$

Этап 4.1.5.2.2.4

Разделим $B (2 x - 1)$ на $1$ .

$4 x - 1 = A + B (2 x - 1)$

Этап 4.1.5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$4 x - 1 = A + B (2 x) + B \cdot - 1$

Этап 4.1.5.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$4 x - 1 = A + 2 B x + B \cdot - 1$

Этап 4.1.5.5

Перенесем $- 1$ влево от $B$ .

$4 x - 1 = A + 2 B x - 1 \cdot B$

Этап 4.1.5.6

Перепишем $- 1 B$ в виде $- B$ .

$4 x - 1 = A + 2 B x - B$

Этап 4.1.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.6.1

Перенесем $B$ .

$4 x - 1 = A + 2 x B - B$

Этап 4.1.6.2

Изменим порядок $A$ и $2 x B$ .

$4 x - 1 = 2 x B + A - B$

Этап 4.2

Составим уравнения для переменных элементарной дроби и используем их для создания системы уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $x$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$4 = 2 B$

Этап 4.2.2

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты членов, не содержащих $x$ . Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$- 1 = A - 1 B$

Этап 4.2.3

Составим систему уравнений, чтобы найти коэффициенты элементарных дробей.

$4 = 2 B$

$- 1 = A - 1 B$

$4 = 2 B$

$- 1 = A - 1 B$

Этап 4.3

Решим систему уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Решим относительно $B$ в $4 = 2 B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1

Перепишем уравнение в виде $2 B = 4$ .

$2 B = 4$

$- 1 = A - 1 B$

Этап 4.3.1.2

Разделим каждый член $2 B = 4$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.2.1

Разделим каждый член $2 B = 4$ на $2$ .

$\frac{2 B}{2} = \frac{4}{2}$

$- 1 = A - 1 B$

Этап 4.3.1.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 B}{2} = \frac{4}{2}$

$- 1 = A - 1 B$

Этап 4.3.1.2.2.1.2

Разделим $B$ на $1$ .

$B = \frac{4}{2}$

$- 1 = A - 1 B$

$B = \frac{4}{2}$

$- 1 = A - 1 B$

$B = \frac{4}{2}$

$- 1 = A - 1 B$

Этап 4.3.1.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.2.3.1

Разделим $4$ на $2$ .

$B = 2$

$- 1 = A - 1 B$

$B = 2$

$- 1 = A - 1 B$

$B = 2$

$- 1 = A - 1 B$

$B = 2$

$- 1 = A - 1 B$

Этап 4.3.2

Заменим все вхождения $B$ на $2$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Заменим все вхождения $B$ в $- 1 = A - 1 B$ на $2$ .

$- 1 = A - 1 \cdot 2$

$B = 2$

Этап 4.3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- 1 = A - 2$

$B = 2$

$- 1 = A - 2$

$B = 2$

$- 1 = A - 2$

$B = 2$

Этап 4.3.3

Решим относительно $A$ в $- 1 = A - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Перепишем уравнение в виде $A - 2 = - 1$ .

$A - 2 = - 1$

$B = 2$

Этап 4.3.3.2

Перенесем все члены без $A$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.2.1

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$A = - 1 + 2$

$B = 2$

Этап 4.3.3.2.2

Добавим $- 1$ и $2$ .

$A = 1$

$B = 2$

$A = 1$

$B = 2$

$A = 1$

$B = 2$

Этап 4.3.4

Решим систему уравнений.

$A = 1 B = 2$

Этап 4.3.5

Перечислим все решения.

$A = 1, B = 2$

Этап 4.4

Заменим каждый коэффициент элементарной дроби в $\frac{A}{{(2 x - 1)}^{2}} + \frac{B}{2 x - 1}$ значениями, найденными для $A$ и $B$ .

$\frac{1}{{(2 x - 1)}^{2}} + \frac{2}{2 x - 1}$

Этап 4.5

Удалим ноль из выражения.

$\int \frac{1}{{(2 x - 1)}^{2}} + \frac{2}{2 x - 1} d x$

Этап 5

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int \frac{1}{{(2 x - 1)}^{2}} d x + \int \frac{2}{2 x - 1} d x$

Этап 6

Пусть $u_{1} = 2 x - 1$ . Тогда $d u_{1} = 2 d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Пусть $u_{1} = 2 x - 1$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Дифференцируем $2 x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Этап 6.1.2

По правилу суммы производная $2 x - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 6.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 6.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 6.1.3.3

Умножим $2$ на $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 6.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.4.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 + 0$

Этап 6.1.4.2

Добавим $2$ и $0$ .

$2$

Этап 6.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{1}$ и $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{{u_{1}}^{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1} + \int \frac{2}{2 x - 1} d x$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим $\frac{1}{{u_{1}}^{2}}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{{u_{1}}^{2} \cdot 2} d u_{1} + \int \frac{2}{2 x - 1} d x$

Этап 7.2

Перенесем $2$ влево от ${u_{1}}^{2}$ .

$\int \frac{1}{2 {u_{1}}^{2}} d u_{1} + \int \frac{2}{2 x - 1} d x$

Этап 8

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u_{1}$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{{u_{1}}^{2}} d u_{1} + \int \frac{2}{2 x - 1} d x$

Этап 9

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Вынесем ${u_{1}}^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\frac{1}{2} \int {({u_{1}}^{2})}^{- 1} d u_{1} + \int \frac{2}{2 x - 1} d x$

Этап 9.2

Перемножим экспоненты в ${({u_{1}}^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{1}}^{2 \cdot - 1} d u_{1} + \int \frac{2}{2 x - 1} d x$

Этап 9.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{1}}^{- 2} d u_{1} + \int \frac{2}{2 x - 1} d x$

Этап 10

По правилу степени интеграл ${u_{1}}^{- 2}$ по $u_{1}$ имеет вид $- {u_{1}}^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} (- {u_{1}}^{- 1} + C) + \int \frac{2}{2 x - 1} d x$

Этап 11

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} (- {u_{1}}^{- 1} + C) + 2 \int \frac{1}{2 x - 1} d x$

Этап 12

Пусть $u_{2} = 2 x - 1$ . Тогда $d u_{2} = 2 d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u_{2} = d x$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Пусть $u_{2} = 2 x - 1$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1

Дифференцируем $2 x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Этап 12.1.2

По правилу суммы производная $2 x - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 12.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 12.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 12.1.3.3

Умножим $2$ на $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 12.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.4.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 + 0$

Этап 12.1.4.2

Добавим $2$ и $0$ .

$2$

Этап 12.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} (- {u_{1}}^{- 1} + C) + 2 \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

Этап 13

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Умножим $\frac{1}{u_{2}}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (- {u_{1}}^{- 1} + C) + 2 \int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

Этап 13.2

Перенесем $2$ влево от $u_{2}$ .

$\frac{1}{2} (- {u_{1}}^{- 1} + C) + 2 \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

Этап 14

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u_{2}$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} (- {u_{1}}^{- 1} + C) + 2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Этап 15

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{1}{2} (- {u_{1}}^{- 1} + C) + \frac{2}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Этап 15.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{2} (- {u_{1}}^{- 1} + C) + \frac{2}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Этап 15.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{2} (- {u_{1}}^{- 1} + C) + 1 \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Этап 15.3

Умножим $\int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$ на $1$ .

$\frac{1}{2} (- {u_{1}}^{- 1} + C) + \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Этап 16

Интеграл $\frac{1}{u_{2}}$ по $u_{2}$ имеет вид $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{2} (- {u_{1}}^{- 1} + C) + \ln (| u_{2} |) + C$

Этап 17

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1

Упростим.

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{u_{1}}) + \ln (| u_{2} |) + C$

Этап 17.2

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{1}{u_{1}}$ .

$- \frac{1}{2 u_{1}} + \ln (| u_{2} |) + C$

Этап 18

Выполним обратную подстановку для каждой подставленной переменной интегрирования.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.1

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $2 x - 1$ .

$- \frac{1}{2 (2 x - 1)} + \ln (| u_{2} |) + C$

Этап 18.2

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $2 x - 1$ .

$- \frac{1}{2 (2 x - 1)} + \ln (| 2 x - 1 |) + C$

Этап 19

Ответ ― первообразная функции $f (x) = \frac{4 x - 1}{{(2 x - 1)}^{2}}$ .

$F (x) =$ $- \frac{1}{2 (2 x - 1)} + \ln (| 2 x - 1 |) + C$