Математический анализ Примеры

$2 \sum_{k = 3}^{8} 9 - 2 k$

Этап 1

Разобьем сумму так, чтобы начальное значение $k$ было равно $1$ .

$2 \sum_{k = 3}^{8} 9 - 2 k = 2 (\sum_{k = 1}^{8} 9 - 2 k - \sum_{k = 1}^{2} 9 - 2 k)$

Этап 2

Найдем значение $\sum_{k = 1}^{8} 9 - 2 k$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разобьем сумму на меньшие суммы в соответствии с правилами суммирования.

$\sum_{k = 1}^{8} 9 - 2 k = \sum_{k = 1}^{8} 9 - 2 \sum_{k = 1}^{8} k$

Этап 2.2

Найдем значение $\sum_{k = 1}^{8} 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Формула суммирования констант:

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Этап 2.2.2

Подставим значения в формулу.

$(9) (8)$

Этап 2.2.3

Умножим $9$ на $8$ .

$72$

Этап 2.3

Найдем значение $2 \sum_{k = 1}^{8} k$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Формула суммирования многочлена степени $1$ :

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

Этап 2.3.2

Подставим данные значения в формулу и умножим на стоящий первым член.

$(- 2) (\frac{8 (8 + 1)}{2})$

Этап 2.3.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1.1

Добавим $8$ и $1$ .

$- 2 \frac{8 \cdot 9}{2}$

Этап 2.3.3.1.2

Умножим $8$ на $9$ .

$- 2 (\frac{72}{2})$

Этап 2.3.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{72}{2}$

Этап 2.3.3.2.2

Сократим общий множитель.

$2 \cdot - 1 \frac{72}{2}$

Этап 2.3.3.2.3

Перепишем это выражение.

$- 1 \cdot 72$

Этап 2.3.3.3

Умножим $- 1$ на $72$ .

$- 72$

Этап 2.4

Сложим результаты суммирования.

$72 - 72$

Этап 2.5

Вычтем $72$ из $72$ .

$0$

Этап 3

Найдем значение $\sum_{k = 1}^{2} 9 - 2 k$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Развернем ряд для каждого значения $k$ .

$9 - 2 \cdot 1 + 9 - 2 \cdot 2$

Этап 3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Умножим $- 2$ на $1$ .

$9 - 2 + 9 - 2 \cdot 2$

Этап 3.2.2

Вычтем $2$ из $9$ .

$7 + 9 - 2 \cdot 2$

Этап 3.2.3

Умножим $- 2$ на $2$ .

$7 + 9 - 4$

Этап 3.2.4

Вычтем $4$ из $9$ .

$7 + 5$

Этап 3.2.5

Добавим $7$ и $5$ .

$12$

Этап 4

Подставим найденные значения вместо результатов суммирования.

$2 (0 - 12)$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вычтем $12$ из $0$ .

$2 \cdot - 12$

Этап 5.2

Умножим $2$ на $- 12$ .

$- 24$