Математический анализ Примеры

$- \frac{5}{6 \sqrt{x^{3}}}$

Этап 1

Перепишем $\frac{d}{d x} [- \frac{5}{6 \sqrt{x^{3}}}]$ в виде $\frac{d}{d x} [- \frac{5}{6 (x \sqrt{x})}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем $x^{2}$ за скобки.

$\frac{d}{d x} [- \frac{5}{6 \sqrt{x^{2} x}}]$

Этап 1.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$\frac{d}{d x} [- \frac{5}{6 (x \sqrt{x})}]$

Этап 2

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{5}{6 (x \cdot x^{\frac{1}{2}})}]$

Этап 3

Умножим $x$ на $x^{\frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим $x$ на $x^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{5}{6 (x^{1} x^{\frac{1}{2}})}]$

Этап 3.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{d}{d x} [- \frac{5}{6 x^{1 + \frac{1}{2}}}]$

Этап 3.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{d}{d x} [- \frac{5}{6 x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}]$

Этап 3.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{d}{d x} [- \frac{5}{6 x^{\frac{2 + 1}{2}}}]$

Этап 3.4

Добавим $2$ и $1$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{5}{6 x^{\frac{3}{2}}}]$

Этап 4

Поскольку $- \frac{5}{6}$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{5}{6 x^{\frac{3}{2}}}$ по $x$ равна $- \frac{5}{6} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}]$ .

$- \frac{5}{6} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}]$

Этап 5

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем $\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ в виде ${(x^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

$- \frac{5}{6} \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{3}{2}})}^{- 1}]$

Этап 5.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{5}{6} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2} \cdot - 1}]$

Этап 5.2.2

Умножим $\frac{3}{2} \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Объединим $\frac{3}{2}$ и $- 1$ .

$- \frac{5}{6} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3 \cdot - 1}{2}}]$

Этап 5.2.2.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$- \frac{5}{6} \frac{d}{d x} [x^{\frac{- 3}{2}}]$

Этап 5.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{5}{6} \frac{d}{d x} [x^{- \frac{3}{2}}]$

Этап 6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - \frac{3}{2}$ .

$- \frac{5}{6} (- \frac{3}{2} x^{- \frac{3}{2} - 1})$

Этап 7

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{5}{6} (- \frac{3}{2} x^{- \frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Этап 8

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{5}{6} (- \frac{3}{2} x^{- \frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Этап 9

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \frac{5}{6} (- \frac{3}{2} x^{\frac{- 3 - 1 \cdot 2}{2}})$

Этап 10

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- \frac{5}{6} (- \frac{3}{2} x^{\frac{- 3 - 2}{2}})$

Этап 10.2

Вычтем $2$ из $- 3$ .

$- \frac{5}{6} (- \frac{3}{2} x^{\frac{- 5}{2}})$

Этап 11

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{5}{6} (- \frac{3}{2} x^{- \frac{5}{2}})$

Этап 12

Объединим $x^{- \frac{5}{2}}$ и $\frac{3}{2}$ .

$- \frac{5}{6} (- \frac{x^{- \frac{5}{2}} \cdot 3}{2})$

Этап 13

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 (\frac{5}{6}) \frac{x^{- \frac{5}{2}} \cdot 3}{2}$

Этап 13.2

Умножим $\frac{5}{6}$ на $1$ .

$\frac{5}{6} \cdot \frac{x^{- \frac{5}{2}} \cdot 3}{2}$

Этап 14

Умножим $\frac{5}{6}$ на $\frac{x^{- \frac{5}{2}} \cdot 3}{2}$ .

$\frac{5 (x^{- \frac{5}{2}} \cdot 3)}{6 \cdot 2}$

Этап 15

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Умножим $3$ на $5$ .

$\frac{15 x^{- \frac{5}{2}}}{6 \cdot 2}$

Этап 15.2

Умножим $6$ на $2$ .

$\frac{15 x^{- \frac{5}{2}}}{12}$

Этап 15.3

Перенесем $x^{- \frac{5}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{15}{12 x^{\frac{5}{2}}}$

Этап 16

Вынесем множитель $3$ из $15$ .

$\frac{3 (5)}{12 x^{\frac{5}{2}}}$

Этап 17

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1

Вынесем множитель $3$ из $12 x^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{3 (5)}{3 (4 x^{\frac{5}{2}})}$

Этап 17.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3 \cdot 5}{3 (4 x^{\frac{5}{2}})}$

Этап 17.3

Перепишем это выражение.

$\frac{5}{4 x^{\frac{5}{2}}}$