Математический анализ Примеры

$y = \frac{x^{3}}{12} + \frac{1}{x}$

Этап 1

По правилу суммы производная $\frac{x^{3}}{12} + \frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{12}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{12}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Этап 2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{12}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $\frac{1}{12}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{x^{3}}{12}$ по $x$ равна $\frac{1}{12} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{12} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$\frac{1}{12} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Этап 2.3

Объединим $3$ и $\frac{1}{12}$ .

$\frac{3}{12} x^{2} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Этап 2.4

Объединим $\frac{3}{12}$ и $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2}}{12} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Этап 2.5

Сократим общий множитель $3$ и $12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Вынесем множитель $3$ из $3 x^{2}$ .

$\frac{3 (x^{2})}{12} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Этап 2.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Вынесем множитель $3$ из $12$ .

$\frac{3 x^{2}}{3 \cdot 4} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Этап 2.5.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x^{2}}{3 \cdot 4} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Этап 2.5.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{x^{2}}{4} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Этап 3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем $\frac{1}{x}$ в виде $x^{- 1}$ .

$\frac{x^{2}}{4} + \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$\frac{x^{2}}{4} - x^{- 2}$

Этап 4

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{x^{2}}{4} - \frac{1}{x^{2}}$