Математический анализ Примеры

$\frac{7 x^{4} + 5}{x^{2} + 1}$

Этап 1

Запишем $\frac{7 x^{4} + 5}{x^{2} + 1}$ в виде функции.

$f (x) = \frac{7 x^{4} + 5}{x^{2} + 1}$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int \frac{7 x^{4} + 5}{x^{2} + 1} d x$

Этап 4

Разделим $7 x^{4} + 5$ на $x^{2} + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$7 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$5$

Этап 4.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $7 x^{4}$ на член с максимальной степенью в делителе $x^{2}$ .

$7 x^{2}$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$7 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$5$

Этап 4.3

Умножим новое частное на делитель.

$7 x^{2}$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$7 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$5$

$7 x^{4}$

$0$

$7 x^{2}$

Этап 4.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $7 x^{4} + 0 + 7 x^{2}$ .

$7 x^{2}$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$7 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$5$

$7 x^{4}$

$0$

$7 x^{2}$

Этап 4.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$7 x^{2}$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$7 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$5$

$7 x^{4}$

$0$

$7 x^{2}$

Этап 4.6

Вынесем следующий член из исходного делимого в текущее делимое.

$7 x^{2}$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$7 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$5$

$7 x^{4}$

$0$

$7 x^{2}$

$0 x$

$5$

Этап 4.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 7 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x^{2}$ .

$7 x^{2}$

$0 x$

$7$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$7 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$5$

$7 x^{4}$

$0$

$7 x^{2}$

$0 x$

$5$

Этап 4.8

Умножим новое частное на делитель.

$7 x^{2}$

$0 x$

$7$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$7 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$5$

$7 x^{4}$

$0$

$7 x^{2}$

$0 x$

$5$

$7 x^{2}$

$0$

$7$

Этап 4.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 7 x^{2} + 0 - 7$ .

$7 x^{2}$

$0 x$

$7$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$7 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$5$

$7 x^{4}$

$0$

$7 x^{2}$

$0 x$

$5$

$7 x^{2}$

$0$

$7$

Этап 4.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$7 x^{2}$

$0 x$

$7$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$7 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$5$

$7 x^{4}$

$0$

$7 x^{2}$

$0 x$

$5$

$7 x^{2}$

$0$

$7$

$12$

Этап 4.11

Окончательный ответ: неполное частное плюс остаток, деленный на делитель.

$\int 7 x^{2} - 7 + \frac{12}{x^{2} + 1} d x$

Этап 5

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int 7 x^{2} d x + \int - 7 d x + \int \frac{12}{x^{2} + 1} d x$

Этап 6

Поскольку $7$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $7$ из-под знака интеграла.

$7 \int x^{2} d x + \int - 7 d x + \int \frac{12}{x^{2} + 1} d x$

Этап 7

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$7 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int - 7 d x + \int \frac{12}{x^{2} + 1} d x$

Этап 8

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$7 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 7 x + C + \int \frac{12}{x^{2} + 1} d x$

Этап 9

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$7 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 7 x + C + \int \frac{12}{x^{2} + 1} d x$

Этап 10

Поскольку $12$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $12$ из-под знака интеграла.

$7 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 7 x + C + 12 \int \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Этап 11

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Изменим порядок $x^{2}$ и $1$ .

$7 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 7 x + C + 12 \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Этап 11.2

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$7 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 7 x + C + 12 \int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x$

Этап 12

Интеграл $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ по $x$ имеет вид $\arctan (x) + C$ .

$7 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 7 x + C + 12 (\arctan (x) + C)$

Этап 13

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Упростим.

$\frac{7 x^{3}}{3} - 7 x + 12 \arctan (x) + C$

Этап 13.2

Изменим порядок членов.

$\frac{7}{3} x^{3} - 7 x + 12 \arctan (x) + C$

Этап 14

Ответ ― первообразная функции $f (x) = \frac{7 x^{4} + 5}{x^{2} + 1}$ .

$F (x) =$ $\frac{7}{3} x^{3} - 7 x + 12 \arctan (x) + C$