Математический анализ Примеры

$f (x) = x^{4} + 8 x^{3} + 18 x^{2} + 4$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $x^{4} + 8 x^{3} + 18 x^{2} + 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [8 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $8 x^{3}$ по $x$ равна $8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 x^{3} + 8 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$4 x^{3} + 8 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 1.2.3

Умножим $3$ на $8$ .

$4 x^{3} + 24 x^{2} + \frac{d}{d x} [18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [18 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $18$ является константой относительно $x$ , производная $18 x^{2}$ по $x$ равна $18 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} + 24 x^{2} + 18 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$4 x^{3} + 24 x^{2} + 18 (2 x) + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 1.3.3

Умножим $2$ на $18$ .

$4 x^{3} + 24 x^{2} + 36 x + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4$ относительно $x$ равна $0$ .

$4 x^{3} + 24 x^{2} + 36 x + 0$

Этап 1.4.2

Добавим $4 x^{3} + 24 x^{2} + 36 x$ и $0$ .

$4 x^{3} + 24 x^{2} + 36 x$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $4 x^{3} + 24 x^{2} + 36 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}] + \frac{d}{d x} [36 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (36 x)$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x^{3}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (36 x)$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$f'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (36 x)$

Этап 2.2.3

Умножим $3$ на $4$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (36 x)$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [24 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $24$ является константой относительно $x$ , производная $24 x^{2}$ по $x$ равна $24 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + 24 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (36 x)$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + 24 (2 x) + \frac{d}{d x} (36 x)$

Этап 2.3.3

Умножим $2$ на $24$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + 48 x + \frac{d}{d x} (36 x)$

Этап 2.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [36 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Поскольку $36$ является константой относительно $x$ , производная $36 x$ по $x$ равна $36 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + 48 x + 36 \frac{d}{d x} (x)$

Этап 2.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + 48 x + 36 \cdot 1$

Этап 2.4.3

Умножим $36$ на $1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + 48 x + 36$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$4 x^{3} + 24 x^{2} + 36 x = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.1

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 4.1.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 4.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [8 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $8 x^{3}$ по $x$ равна $8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 x^{3} + 8 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 4.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$4 x^{3} + 8 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 4.1.2.3

Умножим $3$ на $8$ .

$4 x^{3} + 24 x^{2} + \frac{d}{d x} [18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 4.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [18 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Поскольку $18$ является константой относительно $x$ , производная $18 x^{2}$ по $x$ равна $18 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} + 24 x^{2} + 18 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 4.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$4 x^{3} + 24 x^{2} + 18 (2 x) + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 4.1.3.3

Умножим $2$ на $18$ .

$4 x^{3} + 24 x^{2} + 36 x + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 4.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4$ относительно $x$ равна $0$ .

$4 x^{3} + 24 x^{2} + 36 x + 0$

Этап 4.1.4.2

Добавим $4 x^{3} + 24 x^{2} + 36 x$ и $0$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + 24 x^{2} + 36 x$

Этап 4.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $4 x^{3} + 24 x^{2} + 36 x$ .

$4 x^{3} + 24 x^{2} + 36 x$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $4 x^{3} + 24 x^{2} + 36 x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$4 x^{3} + 24 x^{2} + 36 x = 0$

Этап 5.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вынесем множитель $4 x$ из $4 x^{3} + 24 x^{2} + 36 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Вынесем множитель $4 x$ из $4 x^{3}$ .

$4 x (x^{2}) + 24 x^{2} + 36 x = 0$

Этап 5.2.1.2

Вынесем множитель $4 x$ из $24 x^{2}$ .

$4 x (x^{2}) + 4 x (6 x) + 36 x = 0$

Этап 5.2.1.3

Вынесем множитель $4 x$ из $36 x$ .

$4 x (x^{2}) + 4 x (6 x) + 4 x (9) = 0$

Этап 5.2.1.4

Вынесем множитель $4 x$ из $4 x (x^{2}) + 4 x (6 x)$ .

$4 x (x^{2} + 6 x) + 4 x (9) = 0$

Этап 5.2.1.5

Вынесем множитель $4 x$ из $4 x (x^{2} + 6 x) + 4 x (9)$ .

$4 x (x^{2} + 6 x + 9) = 0$

Этап 5.2.2

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$4 x (x^{2} + 6 x + 3^{2}) = 0$

Этап 5.2.2.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$6 x = 2 \cdot x \cdot 3$

Этап 5.2.2.3

Перепишем многочлен.

$4 x (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^{2}) = 0$

Этап 5.2.2.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , где $a = x$ и $b = 3$ .

$4 x {(x + 3)}^{2} = 0$

Этап 5.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

${(x + 3)}^{2} = 0$

Этап 5.4

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 5.5

Приравняем ${(x + 3)}^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Приравняем ${(x + 3)}^{2}$ к $0$ .

${(x + 3)}^{2} = 0$

Этап 5.5.2

Решим ${(x + 3)}^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1

Приравняем $x + 3$ к $0$ .

$x + 3 = 0$

Этап 5.5.2.2

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$x = - 3$

Этап 5.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $4 x {(x + 3)}^{2} = 0$ верно.

$x = 0, - 3$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = 0, - 3$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = 0$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$12 {(0)}^{2} + 48 (0) + 36$

Этап 9

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$12 \cdot 0 + 48 (0) + 36$

Этап 9.1.2

Умножим $12$ на $0$ .

$0 + 48 (0) + 36$

Этап 9.1.3

Умножим $48$ на $0$ .

$0 + 0 + 36$

Этап 9.2

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Добавим $0$ и $0$ .

$0 + 36$

Этап 9.2.2

Добавим $0$ и $36$ .

$36$

Этап 10

$x = 0$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = 0$ — локальный минимум

Этап 11

Найдем значение y, если $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f (0) = {(0)}^{4} + 8 {(0)}^{3} + 18 {(0)}^{2} + 4$

Этап 11.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f (0) = 0 + 8 {(0)}^{3} + 18 {(0)}^{2} + 4$

Этап 11.2.1.2

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f (0) = 0 + 8 \cdot 0 + 18 {(0)}^{2} + 4$

Этап 11.2.1.3

Умножим $8$ на $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 18 {(0)}^{2} + 4$

Этап 11.2.1.4

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 18 \cdot 0 + 4$

Этап 11.2.1.5

Умножим $18$ на $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 0 + 4$

Этап 11.2.2

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.1

Добавим $0$ и $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 4$

Этап 11.2.2.2

Добавим $0$ и $0$ .

$f (0) = 0 + 4$

Этап 11.2.2.3

Добавим $0$ и $4$ .

$f (0) = 4$

Этап 11.2.3

Окончательный ответ: $4$ .

$y = 4$

Этап 12

Найдем вторую производную в $x = - 3$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$12 {(- 3)}^{2} + 48 (- 3) + 36$

Этап 13

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1

Возведем $- 3$ в степень $2$ .

$12 \cdot 9 + 48 (- 3) + 36$

Этап 13.1.2

Умножим $12$ на $9$ .

$108 + 48 (- 3) + 36$

Этап 13.1.3

Умножим $48$ на $- 3$ .

$108 - 144 + 36$

Этап 13.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1

Вычтем $144$ из $108$ .

$- 36 + 36$

Этап 13.2.2

Добавим $- 36$ и $36$ .

$0$

Этап 14

Поскольку есть по крайней мере одна точка с $0$ или неопределенной второй производной, изучим изменение знака первой производной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на отдельные интервалы в окрестности значений $x$ , при которых первая производная равна $0$ или не определена.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, 0) \cup (0, \infty)$

Этап 14.2

Подставим любое число такое, что $- 6$ , из интервала $(- \infty, - 3)$ в первую производную $4 x^{3} + 24 x^{2} + 36 x$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 6$ .

$f' (- 6) = 4 {(- 6)}^{3} + 24 {(- 6)}^{2} + 36 (- 6)$

Этап 14.2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.2.1.1

Возведем $- 6$ в степень $3$ .

$f' (- 6) = 4 \cdot - 216 + 24 {(- 6)}^{2} + 36 (- 6)$

Этап 14.2.2.1.2

Умножим $4$ на $- 216$ .

$f' (- 6) = - 864 + 24 {(- 6)}^{2} + 36 (- 6)$

Этап 14.2.2.1.3

Возведем $- 6$ в степень $2$ .

$f' (- 6) = - 864 + 24 \cdot 36 + 36 (- 6)$

Этап 14.2.2.1.4

Умножим $24$ на $36$ .

$f' (- 6) = - 864 + 864 + 36 (- 6)$

Этап 14.2.2.1.5

Умножим $36$ на $- 6$ .

$f' (- 6) = - 864 + 864 - 216$

Этап 14.2.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.2.2.1

Добавим $- 864$ и $864$ .

$f' (- 6) = 0 - 216$

Этап 14.2.2.2.2

Вычтем $216$ из $0$ .

$f' (- 6) = - 216$

Этап 14.2.2.3

Окончательный ответ: $- 216$ .

$- 216$

Этап 14.3

Подставим любое число такое, что $- 2$ , из интервала $(- 3, 0)$ в первую производную $4 x^{3} + 24 x^{2} + 36 x$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 2$ .

$f' (- 2) = 4 {(- 2)}^{3} + 24 {(- 2)}^{2} + 36 (- 2)$

Этап 14.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.3.2.1.1

Возведем $- 2$ в степень $3$ .

$f' (- 2) = 4 \cdot - 8 + 24 {(- 2)}^{2} + 36 (- 2)$

Этап 14.3.2.1.2

Умножим $4$ на $- 8$ .

$f' (- 2) = - 32 + 24 {(- 2)}^{2} + 36 (- 2)$

Этап 14.3.2.1.3

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$f' (- 2) = - 32 + 24 \cdot 4 + 36 (- 2)$

Этап 14.3.2.1.4

Умножим $24$ на $4$ .

$f' (- 2) = - 32 + 96 + 36 (- 2)$

Этап 14.3.2.1.5

Умножим $36$ на $- 2$ .

$f' (- 2) = - 32 + 96 - 72$

Этап 14.3.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.3.2.2.1

Добавим $- 32$ и $96$ .

$f' (- 2) = 64 - 72$

Этап 14.3.2.2.2

Вычтем $72$ из $64$ .

$f' (- 2) = - 8$

Этап 14.3.2.3

Окончательный ответ: $- 8$ .

$- 8$

Этап 14.4

Подставим любое число такое, что $2$ , из интервала $(0, \infty)$ в первую производную $4 x^{3} + 24 x^{2} + 36 x$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2$ .

$f' (2) = 4 {(2)}^{3} + 24 {(2)}^{2} + 36 (2)$

Этап 14.4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.4.2.1.1

Возведем $2$ в степень $3$ .

$f' (2) = 4 \cdot 8 + 24 {(2)}^{2} + 36 (2)$

Этап 14.4.2.1.2

Умножим $4$ на $8$ .

$f' (2) = 32 + 24 {(2)}^{2} + 36 (2)$

Этап 14.4.2.1.3

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f' (2) = 32 + 24 \cdot 4 + 36 (2)$

Этап 14.4.2.1.4

Умножим $24$ на $4$ .

$f' (2) = 32 + 96 + 36 (2)$

Этап 14.4.2.1.5

Умножим $36$ на $2$ .

$f' (2) = 32 + 96 + 72$

Этап 14.4.2.2

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.4.2.2.1

Добавим $32$ и $96$ .

$f' (2) = 128 + 72$

Этап 14.4.2.2.2

Добавим $128$ и $72$ .

$f' (2) = 200$

Этап 14.4.2.3

Окончательный ответ: $200$ .

$200$

Этап 14.5

Поскольку первая производная не меняет знак в окрестности $x = - 3$ , в этой точке нет ни локального максимума, ни локального минимума.

Не локальный максимум или минимум

Этап 14.6

Поскольку первая производная меняет знак с отрицательного на положительный в окрестности $x = 0$ , $x = 0$ — локальный минимум.

$x = 0$ — локальный минимум

Этап 15