Математический анализ Примеры

$\int e^{2 x} \sin (x) d x$

Этап 1

Изменим порядок $e^{2 x}$ и $\sin (x)$ .

$\int \sin (x) e^{2 x} d x$

Этап 2

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = \sin (x)$ и $d v = e^{2 x}$ .

$\sin (x) (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} \cos (x) d x$

Этап 3

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\sin (x) (\frac{1}{2} e^{2 x}) - (\frac{1}{2} \int e^{2 x} \cos (x) d x)$

Этап 4

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $e^{2 x}$ .

$\sin (x) \frac{e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \int e^{2 x} \cos (x) d x)$

Этап 4.2

Объединим $\sin (x)$ и $\frac{e^{2 x}}{2}$ .

$\frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \int e^{2 x} \cos (x) d x)$

Этап 4.3

Изменим порядок $e^{2 x}$ и $\cos (x)$ .

$\frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \int \cos (x) e^{2 x} d x)$

Этап 5

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = \cos (x)$ и $d v = e^{2 x}$ .

$\frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} (\cos (x) (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} (- \sin (x)) d x))$

Этап 6

Поскольку $\frac{1}{2} \cdot - 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{2} \cdot - 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} (\cos (x) (\frac{1}{2} e^{2 x}) - (\frac{1}{2} \cdot - 1 \int e^{2 x} (\sin (x)) d x)))$

Этап 7

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $e^{2 x}$ .

$\frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} (\cos (x) \frac{e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \cdot - 1 \int e^{2 x} (\sin (x)) d x)))$

Этап 7.2

Объединим $\cos (x)$ и $\frac{e^{2 x}}{2}$ .

$\frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} (\frac{\cos (x) e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \cdot - 1 \int e^{2 x} (\sin (x)) d x)))$

Этап 7.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 1$ .

$\frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} (\frac{\cos (x) e^{2 x}}{2} - (\frac{- 1}{2} \int e^{2 x} (\sin (x)) d x)))$

Этап 7.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\cos (x) e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} (- (\frac{- 1}{2} \int e^{2 x} (\sin (x)) d x))$

Этап 7.5

Умножим $\frac{\cos (x) e^{2 x}}{2}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - \frac{\cos (x) e^{2 x}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} (- (\frac{- 1}{2} \int e^{2 x} (\sin (x)) d x))$

Этап 7.6

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.6.1

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - \frac{\cos (x) e^{2 x}}{4} - \frac{1}{2} (- (\frac{- 1}{2} \int e^{2 x} (\sin (x)) d x))$

Этап 7.6.2

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - \frac{\cos (x) e^{2 x}}{4} + 1 (\frac{1}{2}) (\frac{- 1}{2} \int e^{2 x} (\sin (x)) d x)$

Этап 7.6.3

Умножим $\frac{1}{2}$ на $1$ .

$\frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - \frac{\cos (x) e^{2 x}}{4} + \frac{1}{2} (\frac{- 1}{2} \int e^{2 x} (\sin (x)) d x)$

Этап 7.7

Умножим $\frac{- 1}{2}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - \frac{\cos (x) e^{2 x}}{4} + \frac{- 1}{2 \cdot 2} \int e^{2 x} (\sin (x)) d x$

Этап 7.8

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - \frac{\cos (x) e^{2 x}}{4} + \frac{- 1}{4} \int e^{2 x} (\sin (x)) d x$

Этап 8

Найдя решение для $\int e^{2 x} \sin (x) d x$ , получим $\int e^{2 x} \sin (x) d x$ = $\frac{\frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - \frac{\cos (x) e^{2 x}}{4}}{\frac{5}{4}}$ .

$\frac{\frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - \frac{\cos (x) e^{2 x}}{4}}{\frac{5}{4}} + C$

Этап 9

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{5}{4}$ .

$(\frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - \frac{\cos (x) e^{2 x}}{4}) \frac{4}{5} + C$

Этап 9.1.2

Перепишем $(\frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - \frac{\cos (x) e^{2 x}}{4}) \frac{4}{5} + C$ в виде $(\frac{1}{2} \sin (x) e^{2 x} - \frac{1}{4} \cos (x) e^{2 x}) \frac{4}{5} + C$ .

$(\frac{1}{2} \sin (x) e^{2 x} - \frac{1}{4} \cos (x) e^{2 x}) \frac{4}{5} + C$

Этап 9.1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.3.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\sin (x)$ .

$(\frac{\sin (x)}{2} e^{2 x} - \frac{1}{4} \cos (x) e^{2 x}) \frac{4}{5} + C$

Этап 9.1.3.2

Объединим $\frac{\sin (x)}{2}$ и $e^{2 x}$ .

$(\frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} \cos (x) e^{2 x}) \frac{4}{5} + C$

Этап 9.1.3.3

Объединим $\cos (x)$ и $\frac{1}{4}$ .

$(\frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - \frac{\cos (x)}{4} e^{2 x}) \frac{4}{5} + C$

Этап 9.1.3.4

Объединим $e^{2 x}$ и $\frac{\cos (x)}{4}$ .

$(\frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - \frac{e^{2 x} \cos (x)}{4}) \frac{4}{5} + C$

Этап 9.1.4

Изменим порядок множителей в $\frac{\sin (x) e^{2 x}}{2}$ .

$(\frac{1}{2} e^{2 x} \sin (x) - \frac{1}{4} e^{2 x} \cos (x)) \frac{4}{5} + C$

Этап 9.2

Перепишем $(\frac{1}{2} e^{2 x} \sin (x) - \frac{1}{4} e^{2 x} \cos (x)) \frac{4}{5} + C$ в виде $(\frac{e^{2 x} \sin (x)}{2} - \frac{\cos (x) e^{2 x}}{4}) \frac{4}{5} + C$ .

$(\frac{e^{2 x} \sin (x)}{2} - \frac{\cos (x) e^{2 x}}{4}) \frac{4}{5} + C$

Этап 9.3

Изменим порядок множителей в $\frac{\cos (x) e^{2 x}}{4}$ .

$(\frac{1}{2} e^{2 x} \sin (x) - \frac{1}{4} e^{2 x} \cos (x)) \frac{4}{5} + C$