Математический анализ Примеры

$\int x^{3} e^{6 x^{4}} \sqrt{{(2 e^{6 x^{4}} + 1)}^{5}} d x$

Этап 1

Пусть $u_{2} = 2 e^{6 x^{4}} + 1$ . Тогда $d u_{2} = 48 x^{3} e^{6 x^{4}} d x$ , следовательно $\frac{1}{48} d u_{2} = x^{3} e^{6 x^{4}} d x$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u_{2} = 2 e^{6 x^{4}} + 1$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $2 e^{6 x^{4}} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 e^{6 x^{4}} + 1]$

Этап 1.1.2

По правилу суммы производная $2 e^{6 x^{4}} + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 e^{6 x^{4}}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 e^{6 x^{4}}] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 e^{6 x^{4}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 e^{6 x^{4}}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [e^{6 x^{4}}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [e^{6 x^{4}}] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = 6 x^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $6 x^{4}$ .

$2 (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [6 x^{4}]) + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.1.3.2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ имеет вид $a^{u_{1}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$2 (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [6 x^{4}]) + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.1.3.2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $6 x^{4}$ .

$2 (e^{6 x^{4}} \frac{d}{d x} [6 x^{4}]) + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.1.3.3

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6 x^{4}$ по $x$ равна $6 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$2 (e^{6 x^{4}} (6 \frac{d}{d x} [x^{4}])) + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.1.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$2 (e^{6 x^{4}} (6 (4 x^{3}))) + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.1.3.5

Умножим $4$ на $6$ .

$2 (e^{6 x^{4}} (24 x^{3})) + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.1.3.6

Умножим $24$ на $2$ .

$48 e^{6 x^{4}} x^{3} + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.1.4

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$48 e^{6 x^{4}} x^{3} + 0$

Этап 1.1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.1

Добавим $48 e^{6 x^{4}} x^{3}$ и $0$ .

$48 e^{6 x^{4}} x^{3}$

Этап 1.1.5.2

Изменим порядок множителей в $48 e^{6 x^{4}} x^{3}$ .

$48 x^{3} e^{6 x^{4}}$

Этап 1.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$\int \sqrt{{u_{2}}^{5}} \frac{1}{48} d u_{2}$

Этап 2

Объединим $\sqrt{{u_{2}}^{5}}$ и $\frac{1}{48}$ .

$\int \frac{\sqrt{{u_{2}}^{5}}}{48} d u_{2}$

Этап 3

Поскольку $\frac{1}{48}$ — константа по отношению к $u_{2}$ , вынесем $\frac{1}{48}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{48} \int \sqrt{{u_{2}}^{5}} d u_{2}$

Этап 4

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{{u_{2}}^{5}}$ в виде ${u_{2}}^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{1}{48} \int {u_{2}}^{\frac{5}{2}} d u_{2}$

Этап 5

По правилу степени интеграл ${u_{2}}^{\frac{5}{2}}$ по $u_{2}$ имеет вид $\frac{2}{7} {u_{2}}^{\frac{7}{2}}$ .

$\frac{1}{48} (\frac{2}{7} {u_{2}}^{\frac{7}{2}} + C)$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Перепишем $\frac{1}{48} (\frac{2}{7} {u_{2}}^{\frac{7}{2}} + C)$ в виде $\frac{1}{48} \cdot \frac{2}{7} {u_{2}}^{\frac{7}{2}} + C$ .

$\frac{1}{48} \cdot \frac{2}{7} {u_{2}}^{\frac{7}{2}} + C$

Этап 6.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Умножим $\frac{1}{48}$ на $\frac{2}{7}$ .

$\frac{2}{48 \cdot 7} {u_{2}}^{\frac{7}{2}} + C$

Этап 6.2.2

Умножим $48$ на $7$ .

$\frac{2}{336} {u_{2}}^{\frac{7}{2}} + C$

Этап 6.2.3

Сократим общий множитель $2$ и $336$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 (1)}{336} {u_{2}}^{\frac{7}{2}} + C$

Этап 6.2.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $336$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 168} {u_{2}}^{\frac{7}{2}} + C$

Этап 6.2.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 168} {u_{2}}^{\frac{7}{2}} + C$

Этап 6.2.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{168} {u_{2}}^{\frac{7}{2}} + C$

Этап 7

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $2 e^{6 x^{4}} + 1$ .

$\frac{1}{168} {(2 e^{6 x^{4}} + 1)}^{\frac{7}{2}} + C$