Математический анализ Примеры

$A (t) = 300 t e^{- 2.5 t}$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Поскольку $300$ является константой относительно $t$ , производная $300 t e^{- 2.5 t}$ по $t$ равна $300 \frac{d}{d t} [t e^{- 2.5 t}]$ .

$300 \frac{d}{d t} [t e^{- 2.5 t}]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ имеет вид $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ , где $f (t) = t$ и $g (t) = e^{- 2.5 t}$ .

$300 (t \frac{d}{d t} [e^{- 2.5 t}] + e^{- 2.5 t} \frac{d}{d t} [t])$

Этап 1.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ имеет вид $f' (g (t)) g' (t)$ , где $f (t) = e^{t}$ и $g (t) = - 2.5 t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $- 2.5 t$ .

$300 (t (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d t} [- 2.5 t]) + e^{- 2.5 t} \frac{d}{d t} [t])$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$300 (t (e^{u} \frac{d}{d t} [- 2.5 t]) + e^{- 2.5 t} \frac{d}{d t} [t])$

Этап 1.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $- 2.5 t$ .

$300 (t (e^{- 2.5 t} \frac{d}{d t} [- 2.5 t]) + e^{- 2.5 t} \frac{d}{d t} [t])$

Этап 1.4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Поскольку $- 2.5$ является константой относительно $t$ , производная $- 2.5 t$ по $t$ равна $- 2.5 \frac{d}{d t} [t]$ .

$300 (t (e^{- 2.5 t} (- 2.5 \frac{d}{d t} [t])) + e^{- 2.5 t} \frac{d}{d t} [t])$

Этап 1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$300 (t (e^{- 2.5 t} (- 2.5 \cdot 1)) + e^{- 2.5 t} \frac{d}{d t} [t])$

Этап 1.4.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.1

Умножим $- 2.5$ на $1$ .

$300 (t (e^{- 2.5 t} \cdot - 2.5) + e^{- 2.5 t} \frac{d}{d t} [t])$

Этап 1.4.3.2

Перенесем $- 2.5$ влево от $e^{- 2.5 t}$ .

$300 (t (- 2.5 \cdot e^{- 2.5 t}) + e^{- 2.5 t} \frac{d}{d t} [t])$

Этап 1.4.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$300 (t (- 2.5 e^{- 2.5 t}) + e^{- 2.5 t} \cdot 1)$

Этап 1.4.5

Умножим $e^{- 2.5 t}$ на $1$ .

$300 (t (- 2.5 e^{- 2.5 t}) + e^{- 2.5 t})$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$300 (t (- 2.5 e^{- 2.5 t})) + 300 e^{- 2.5 t}$

Этап 1.5.2

Умножим $- 2.5$ на $300$ .

$- 750 t e^{- 2.5 t} + 300 e^{- 2.5 t}$

Этап 1.5.3

Изменим порядок членов.

$- 750 e^{- 2.5 t} t + 300 e^{- 2.5 t}$

Этап 1.5.4

Изменим порядок множителей в $- 750 e^{- 2.5 t} t + 300 e^{- 2.5 t}$ .

$- 750 t e^{- 2.5 t} + 300 e^{- 2.5 t}$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $- 750 t e^{- 2.5 t} + 300 e^{- 2.5 t}$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [- 750 t e^{- 2.5 t}] + \frac{d}{d t} [300 e^{- 2.5 t}]$ .

$A'' (t) = \frac{d}{d t} (- 750 t e^{- 2.5 t}) + \frac{d}{d t} (300 e^{- 2.5 t})$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d t} [- 750 t e^{- 2.5 t}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $- 750$ является константой относительно $t$ , производная $- 750 t e^{- 2.5 t}$ по $t$ равна $- 750 \frac{d}{d t} [t e^{- 2.5 t}]$ .

$A'' (t) = - 750 \frac{d}{d t} (t e^{- 2.5 t}) + \frac{d}{d t} (300 e^{- 2.5 t})$

Этап 2.2.2

$A'' (t) = - 750 (t \frac{d}{d t} (e^{- 2.5 t}) + e^{- 2.5 t} \frac{d}{d t} (t)) + \frac{d}{d t} (300 e^{- 2.5 t})$

Этап 2.2.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $- 2.5 t$ .

$A'' (t) = - 750 (t (\frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d t} (- 2.5 t)) + e^{- 2.5 t} \frac{d}{d t} (t)) + \frac{d}{d t} (300 e^{- 2.5 t})$

Этап 2.2.3.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ имеет вид $a^{u_{1}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$A'' (t) = - 750 (t (e^{u_{1}} \frac{d}{d t} (- 2.5 t)) + e^{- 2.5 t} \frac{d}{d t} (t)) + \frac{d}{d t} (300 e^{- 2.5 t})$

Этап 2.2.3.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $- 2.5 t$ .

$A'' (t) = - 750 (t (e^{- 2.5 t} \frac{d}{d t} (- 2.5 t)) + e^{- 2.5 t} \frac{d}{d t} (t)) + \frac{d}{d t} (300 e^{- 2.5 t})$

Этап 2.2.4

Поскольку $- 2.5$ является константой относительно $t$ , производная $- 2.5 t$ по $t$ равна $- 2.5 \frac{d}{d t} [t]$ .

$A'' (t) = - 750 (t (e^{- 2.5 t} (- 2.5 \frac{d}{d t} t)) + e^{- 2.5 t} \frac{d}{d t} (t)) + \frac{d}{d t} (300 e^{- 2.5 t})$

Этап 2.2.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$A'' (t) = - 750 (t (e^{- 2.5 t} (- 2.5 \cdot 1)) + e^{- 2.5 t} \frac{d}{d t} (t)) + \frac{d}{d t} (300 e^{- 2.5 t})$

Этап 2.2.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$A'' (t) = - 750 (t (e^{- 2.5 t} (- 2.5 \cdot 1)) + e^{- 2.5 t} \cdot 1) + \frac{d}{d t} (300 e^{- 2.5 t})$

Этап 2.2.7

Умножим $- 2.5$ на $1$ .

$A'' (t) = - 750 (t (e^{- 2.5 t} \cdot - 2.5) + e^{- 2.5 t} \cdot 1) + \frac{d}{d t} (300 e^{- 2.5 t})$

Этап 2.2.8

Перенесем $- 2.5$ влево от $e^{- 2.5 t}$ .

$A'' (t) = - 750 (t (- 2.5 \cdot e^{- 2.5 t}) + e^{- 2.5 t} \cdot 1) + \frac{d}{d t} (300 e^{- 2.5 t})$

Этап 2.2.9

Умножим $e^{- 2.5 t}$ на $1$ .

$A'' (t) = - 750 (t (- 2.5 e^{- 2.5 t}) + e^{- 2.5 t}) + \frac{d}{d t} (300 e^{- 2.5 t})$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d t} [300 e^{- 2.5 t}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $300$ является константой относительно $t$ , производная $300 e^{- 2.5 t}$ по $t$ равна $300 \frac{d}{d t} [e^{- 2.5 t}]$ .

$A'' (t) = - 750 (t (- 2.5 e^{- 2.5 t}) + e^{- 2.5 t}) + 300 \frac{d}{d t} (e^{- 2.5 t})$

Этап 2.3.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $- 2.5 t$ .

$A'' (t) = - 750 (t (- 2.5 e^{- 2.5 t}) + e^{- 2.5 t}) + 300 (\frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d t} (- 2.5 t))$

Этап 2.3.2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ имеет вид $a^{u_{2}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$A'' (t) = - 750 (t (- 2.5 e^{- 2.5 t}) + e^{- 2.5 t}) + 300 (e^{u_{2}} \frac{d}{d t} (- 2.5 t))$

Этап 2.3.2.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $- 2.5 t$ .

$A'' (t) = - 750 (t (- 2.5 e^{- 2.5 t}) + e^{- 2.5 t}) + 300 (e^{- 2.5 t} \frac{d}{d t} (- 2.5 t))$

Этап 2.3.3

Поскольку $- 2.5$ является константой относительно $t$ , производная $- 2.5 t$ по $t$ равна $- 2.5 \frac{d}{d t} [t]$ .

$A'' (t) = - 750 (t (- 2.5 e^{- 2.5 t}) + e^{- 2.5 t}) + 300 (e^{- 2.5 t} (- 2.5 \frac{d}{d t} t))$

Этап 2.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$A'' (t) = - 750 (t (- 2.5 e^{- 2.5 t}) + e^{- 2.5 t}) + 300 (e^{- 2.5 t} (- 2.5 \cdot 1))$

Этап 2.3.5

Умножим $- 2.5$ на $1$ .

$A'' (t) = - 750 (t (- 2.5 e^{- 2.5 t}) + e^{- 2.5 t}) + 300 (e^{- 2.5 t} \cdot - 2.5)$

Этап 2.3.6

Перенесем $- 2.5$ влево от $e^{- 2.5 t}$ .

$A'' (t) = - 750 (t (- 2.5 e^{- 2.5 t}) + e^{- 2.5 t}) + 300 (- 2.5 \cdot e^{- 2.5 t})$

Этап 2.3.7

Умножим $- 2.5$ на $300$ .

$A'' (t) = - 750 (t (- 2.5 e^{- 2.5 t}) + e^{- 2.5 t}) - 750 e^{- 2.5 t}$

Этап 2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$A'' (t) = - 750 (t (- 2.5 e^{- 2.5 t})) - 750 e^{- 2.5 t} - 750 e^{- 2.5 t}$

Этап 2.4.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Умножим $- 2.5$ на $- 750$ .

$A'' (t) = 1875 (t (e^{- 2.5 t})) - 750 e^{- 2.5 t} - 750 e^{- 2.5 t}$

Этап 2.4.2.2

Вычтем $750 e^{- 2.5 t}$ из $- 750 e^{- 2.5 t}$ .

$A'' (t) = 1875 t e^{- 2.5 t} - 1500 e^{- 2.5 t}$

Этап 2.4.3

Изменим порядок членов.

$A'' (t) = 1875 e^{- 2.5 t} t - 1500 e^{- 2.5 t}$

Этап 2.4.4

Изменим порядок множителей в $1875 e^{- 2.5 t} t - 1500 e^{- 2.5 t}$ .

$A'' (t) = 1875 t e^{- 2.5 t} - 1500 e^{- 2.5 t}$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$- 750 t e^{- 2.5 t} + 300 e^{- 2.5 t} = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Поскольку $300$ является константой относительно $t$ , производная $300 t e^{- 2.5 t}$ по $t$ равна $300 \frac{d}{d t} [t e^{- 2.5 t}]$ .

$300 \frac{d}{d t} [t e^{- 2.5 t}]$

Этап 4.1.2

$300 (t \frac{d}{d t} [e^{- 2.5 t}] + e^{- 2.5 t} \frac{d}{d t} [t])$

Этап 4.1.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $- 2.5 t$ .

$300 (t (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d t} [- 2.5 t]) + e^{- 2.5 t} \frac{d}{d t} [t])$

Этап 4.1.3.2

$300 (t (e^{u} \frac{d}{d t} [- 2.5 t]) + e^{- 2.5 t} \frac{d}{d t} [t])$

Этап 4.1.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $- 2.5 t$ .

$300 (t (e^{- 2.5 t} \frac{d}{d t} [- 2.5 t]) + e^{- 2.5 t} \frac{d}{d t} [t])$

Этап 4.1.4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1

Поскольку $- 2.5$ является константой относительно $t$ , производная $- 2.5 t$ по $t$ равна $- 2.5 \frac{d}{d t} [t]$ .

$300 (t (e^{- 2.5 t} (- 2.5 \frac{d}{d t} [t])) + e^{- 2.5 t} \frac{d}{d t} [t])$

Этап 4.1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$300 (t (e^{- 2.5 t} (- 2.5 \cdot 1)) + e^{- 2.5 t} \frac{d}{d t} [t])$

Этап 4.1.4.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.3.1

Умножим $- 2.5$ на $1$ .

$300 (t (e^{- 2.5 t} \cdot - 2.5) + e^{- 2.5 t} \frac{d}{d t} [t])$

Этап 4.1.4.3.2

Перенесем $- 2.5$ влево от $e^{- 2.5 t}$ .

$300 (t (- 2.5 \cdot e^{- 2.5 t}) + e^{- 2.5 t} \frac{d}{d t} [t])$

Этап 4.1.4.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$300 (t (- 2.5 e^{- 2.5 t}) + e^{- 2.5 t} \cdot 1)$

Этап 4.1.4.5

Умножим $e^{- 2.5 t}$ на $1$ .

$300 (t (- 2.5 e^{- 2.5 t}) + e^{- 2.5 t})$

Этап 4.1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$300 (t (- 2.5 e^{- 2.5 t})) + 300 e^{- 2.5 t}$

Этап 4.1.5.2

Умножим $- 2.5$ на $300$ .

$- 750 t e^{- 2.5 t} + 300 e^{- 2.5 t}$

Этап 4.1.5.3

Изменим порядок членов.

$- 750 e^{- 2.5 t} t + 300 e^{- 2.5 t}$

Этап 4.1.5.4

Изменим порядок множителей в $- 750 e^{- 2.5 t} t + 300 e^{- 2.5 t}$ .

$f' (t) = - 750 t e^{- 2.5 t} + 300 e^{- 2.5 t}$

Этап 4.2

Первая производная $A (t)$ по $t$ равна $- 750 t e^{- 2.5 t} + 300 e^{- 2.5 t}$ .

$- 750 t e^{- 2.5 t} + 300 e^{- 2.5 t}$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- 750 t e^{- 2.5 t} + 300 e^{- 2.5 t} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$- 750 t e^{- 2.5 t} + 300 e^{- 2.5 t} = 0$

Этап 5.2

Вынесем множитель $150 e^{- 2.5 t}$ из $- 750 t e^{- 2.5 t} + 300 e^{- 2.5 t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вынесем множитель $150 e^{- 2.5 t}$ из $- 750 t e^{- 2.5 t}$ .

$150 e^{- 2.5 t} (- 5 t) + 300 e^{- 2.5 t} = 0$

Этап 5.2.2

Вынесем множитель $150 e^{- 2.5 t}$ из $300 e^{- 2.5 t}$ .

$150 e^{- 2.5 t} (- 5 t) + 150 e^{- 2.5 t} (2) = 0$

Этап 5.2.3

Вынесем множитель $150 e^{- 2.5 t}$ из $150 e^{- 2.5 t} (- 5 t) + 150 e^{- 2.5 t} (2)$ .

$150 e^{- 2.5 t} (- 5 t + 2) = 0$

Этап 5.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$e^{- 2.5 t} = 0$

$- 5 t + 2 = 0$

Этап 5.4

Приравняем $e^{- 2.5 t}$ к $0$ , затем решим относительно $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Приравняем $e^{- 2.5 t}$ к $0$ .

$e^{- 2.5 t} = 0$

Этап 5.4.2

Решим $e^{- 2.5 t} = 0$ относительно $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{- 2.5 t}) = \ln (0)$

Этап 5.4.2.2

Уравнение невозможно решить, так как выражение $\ln (0)$ не определено.

Неопределенные

Этап 5.4.2.3

Нет решения для $e^{- 2.5 t} = 0$

Нет решения

Этап 5.5

Приравняем $- 5 t + 2$ к $0$ , затем решим относительно $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Приравняем $- 5 t + 2$ к $0$ .

$- 5 t + 2 = 0$

Этап 5.5.2

Решим $- 5 t + 2 = 0$ относительно $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$- 5 t = - 2$

Этап 5.5.2.2

Разделим каждый член $- 5 t = - 2$ на $- 5$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.2.1

Разделим каждый член $- 5 t = - 2$ на $- 5$ .

$\frac{- 5 t}{- 5} = \frac{- 2}{- 5}$

Этап 5.5.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.2.2.1

Сократим общий множитель $- 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 5 t}{- 5} = \frac{- 2}{- 5}$

Этап 5.5.2.2.2.1.2

Разделим $t$ на $1$ .

$t = \frac{- 2}{- 5}$

Этап 5.5.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.2.3.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$t = \frac{2}{5}$

Этап 5.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $150 e^{- 2.5 t} (- 5 t + 2) = 0$ верно.

$t = \frac{2}{5}$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$t = \frac{2}{5}$

Этап 8

Найдем вторую производную в $t = \frac{2}{5}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$1875 (\frac{2}{5}) e^{- 2.5 (\frac{2}{5})} - 1500 e^{- 2.5 (\frac{2}{5})}$

Этап 9

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1.1

Вынесем множитель $5$ из $1875$ .

$5 (375) \frac{2}{5} e^{- 2.5 (\frac{2}{5})} - 1500 e^{- 2.5 (\frac{2}{5})}$

Этап 9.1.1.2

Сократим общий множитель.

$5 \cdot 375 \frac{2}{5} e^{- 2.5 (\frac{2}{5})} - 1500 e^{- 2.5 (\frac{2}{5})}$

Этап 9.1.1.3

Перепишем это выражение.

$375 \cdot 2 e^{- 2.5 (\frac{2}{5})} - 1500 e^{- 2.5 (\frac{2}{5})}$

Этап 9.1.2

Умножим $375$ на $2$ .

$750 e^{- 2.5 (\frac{2}{5})} - 1500 e^{- 2.5 (\frac{2}{5})}$

Этап 9.1.3

Сократим общий множитель $2.5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.3.1

Вынесем множитель $2.5$ из $- 2.5$ .

$750 e^{2.5 (- 1) \frac{2}{5}} - 1500 e^{- 2.5 (\frac{2}{5})}$

Этап 9.1.3.2

Вынесем множитель $2.5$ из $5$ .

$750 e^{2.5 \cdot - 1 \frac{2}{2.5 \cdot 2}} - 1500 e^{- 2.5 (\frac{2}{5})}$

Этап 9.1.3.3

Сократим общий множитель.

$750 e^{2.5 \cdot - 1 \frac{2}{2.5 \cdot 2}} - 1500 e^{- 2.5 (\frac{2}{5})}$

Этап 9.1.3.4

Перепишем это выражение.

$750 e^{- 1 (\frac{2}{2})} - 1500 e^{- 2.5 (\frac{2}{5})}$

Этап 9.1.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.4.1

Сократим общий множитель.

$750 e^{- 1 (\frac{2}{2})} - 1500 e^{- 2.5 (\frac{2}{5})}$

Этап 9.1.4.2

Перепишем это выражение.

$750 e^{- 1 \cdot 1} - 1500 e^{- 2.5 (\frac{2}{5})}$

Этап 9.1.5

Умножим $- 1$ на $1$ .

$750 e^{- 1} - 1500 e^{- 2.5 (\frac{2}{5})}$

Этап 9.1.6

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$750 \frac{1}{e} - 1500 e^{- 2.5 (\frac{2}{5})}$

Этап 9.1.7

Объединим $750$ и $\frac{1}{e}$ .

$\frac{750}{e} - 1500 e^{- 2.5 (\frac{2}{5})}$

Этап 9.1.8

Заменим $e$ приближением.

$\frac{750}{2.71828182} - 1500 e^{- 2.5 (\frac{2}{5})}$

Этап 9.1.9

Разделим $750$ на $2.71828182$ .

$275.90958087 - 1500 e^{- 2.5 (\frac{2}{5})}$

Этап 9.1.10

Сократим общий множитель $2.5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.10.1

Вынесем множитель $2.5$ из $- 2.5$ .

$275.90958087 - 1500 e^{2.5 (- 1) \frac{2}{5}}$

Этап 9.1.10.2

Вынесем множитель $2.5$ из $5$ .

$275.90958087 - 1500 e^{2.5 \cdot - 1 \frac{2}{2.5 \cdot 2}}$

Этап 9.1.10.3

Сократим общий множитель.

$275.90958087 - 1500 e^{2.5 \cdot - 1 \frac{2}{2.5 \cdot 2}}$

Этап 9.1.10.4

Перепишем это выражение.

$275.90958087 - 1500 e^{- 1 (\frac{2}{2})}$

Этап 9.1.11

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.11.1

Сократим общий множитель.

$275.90958087 - 1500 e^{- 1 (\frac{2}{2})}$

Этап 9.1.11.2

Перепишем это выражение.

$275.90958087 - 1500 e^{- 1 \cdot 1}$

Этап 9.1.12

Умножим $- 1$ на $1$ .

$275.90958087 - 1500 e^{- 1}$

Этап 9.1.13

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$275.90958087 - 1500 \frac{1}{e}$

Этап 9.1.14

Объединим $- 1500$ и $\frac{1}{e}$ .

$275.90958087 + \frac{- 1500}{e}$

Этап 9.1.15

Вынесем знак минуса перед дробью.

$275.90958087 - \frac{1500}{e}$

Этап 9.1.16

Заменим $e$ приближением.

$275.90958087 - \frac{1500}{2.71828182}$

Этап 9.1.17

Разделим $1500$ на $2.71828182$ .

$275.90958087 - 1 \cdot 551.81916175$

Этап 9.1.18

Умножим $- 1$ на $551.81916175$ .

$275.90958087 - 551.81916175$

Этап 9.2

Вычтем $551.81916175$ из $275.90958087$ .

$- 275.90958087$

Этап 10

$t = \frac{2}{5}$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$t = \frac{2}{5}$ — локальный максимум

Этап 11

Найдем значение y, если $t = \frac{2}{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Заменим в этом выражении переменную $t$ на $\frac{2}{5}$ .

$A (\frac{2}{5}) = 300 (\frac{2}{5}) \cdot e^{- 2.5 (\frac{2}{5})}$

Этап 11.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.1

Вынесем множитель $5$ из $300$ .

$A (\frac{2}{5}) = 5 (60) (\frac{2}{5}) \cdot e^{- 2.5 (\frac{2}{5})}$

Этап 11.2.1.2

Сократим общий множитель.

$A (\frac{2}{5}) = 5 \cdot (60 (\frac{2}{5})) \cdot e^{- 2.5 (\frac{2}{5})}$

Этап 11.2.1.3

Перепишем это выражение.

$A (\frac{2}{5}) = 60 \cdot 2 \cdot e^{- 2.5 (\frac{2}{5})}$

Этап 11.2.2

Умножим $60$ на $2$ .

$A (\frac{2}{5}) = 120 \cdot e^{- 2.5 (\frac{2}{5})}$

Этап 11.2.3

Сократим общий множитель $2.5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.3.1

Вынесем множитель $2.5$ из $- 2.5$ .

$A (\frac{2}{5}) = 120 \cdot e^{2.5 (- 1) (\frac{2}{5})}$

Этап 11.2.3.2

Вынесем множитель $2.5$ из $5$ .

$A (\frac{2}{5}) = 120 \cdot e^{2.5 \cdot (- 1 \frac{2}{2.5 \cdot 2})}$

Этап 11.2.3.3

Сократим общий множитель.

$A (\frac{2}{5}) = 120 \cdot e^{2.5 \cdot (- 1 \frac{2}{2.5 \cdot 2})}$

Этап 11.2.3.4

Перепишем это выражение.

$A (\frac{2}{5}) = 120 \cdot e^{- 1 (\frac{2}{2})}$

Этап 11.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.4.1

Сократим общий множитель.

$A (\frac{2}{5}) = 120 \cdot e^{- 1 (\frac{2}{2})}$

Этап 11.2.4.2

Перепишем это выражение.

$A (\frac{2}{5}) = 120 \cdot e^{- 1 \cdot 1}$

Этап 11.2.5

Умножим $- 1$ на $1$ .

$A (\frac{2}{5}) = 120 \cdot e^{- 1}$

Этап 11.2.6

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$A (\frac{2}{5}) = 120 \cdot \frac{1}{e}$

Этап 11.2.7

Объединим $120$ и $\frac{1}{e}$ .

$A (\frac{2}{5}) = \frac{120}{e}$

Этап 11.2.8

Окончательный ответ: $\frac{120}{e}$ .

$y = \frac{120}{e}$

Этап 12

Это локальные экстремумы $A (t) = 300 t e^{- 2.5 t}$ .

$(\frac{2}{5}, \frac{120}{e})$ — локальный максимум

Этап 13