Математический анализ Примеры

$\int_{1}^{4} \frac{s^{4} - 8}{s^{2}} d s$

Этап 1

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем $s^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\int_{1}^{4} (s^{4} - 8) {(s^{2})}^{- 1} d s$

Этап 1.2

Перемножим экспоненты в ${(s^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{1}^{4} (s^{4} - 8) s^{2 \cdot - 1} d s$

Этап 1.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\int_{1}^{4} (s^{4} - 8) s^{- 2} d s$

Этап 2

Умножим $(s^{4} - 8) s^{- 2}$ .

$\int_{1}^{4} s^{4} s^{- 2} - 8 s^{- 2} d s$

Этап 3

Умножим $s^{4}$ на $s^{- 2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int_{1}^{4} s^{4 - 2} - 8 s^{- 2} d s$

Этап 3.2

Вычтем $2$ из $4$ .

$\int_{1}^{4} s^{2} - 8 s^{- 2} d s$

Этап 4

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{1}^{4} s^{2} d s + \int_{1}^{4} - 8 s^{- 2} d s$

Этап 5

По правилу степени интеграл $s^{2}$ по $s$ имеет вид $\frac{1}{3} s^{3}$ .

$\frac{1}{3} s^{3}]_{1}^{4} + \int_{1}^{4} - 8 s^{- 2} d s$

Этап 6

Поскольку $- 8$ — константа по отношению к $s$ , вынесем $- 8$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{3} s^{3}]_{1}^{4} - 8 \int_{1}^{4} s^{- 2} d s$

Этап 7

По правилу степени интеграл $s^{- 2}$ по $s$ имеет вид $- s^{- 1}$ .

$\frac{1}{3} s^{3}]_{1}^{4} - 8 (- s^{- 1}]_{1}^{4})$

Этап 8

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Найдем значение $\frac{1}{3} s^{3}$ в $4$ и в $1$ .

$(\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 1^{3} - 8 (- s^{- 1}]_{1}^{4})$

Этап 8.2

Найдем значение $- s^{- 1}$ в $4$ и в $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot 4^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3} - 8 (- 4^{- 1} + 1^{- 1})$

Этап 8.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Возведем $4$ в степень $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot 64 - \frac{1}{3} \cdot 1^{3} - 8 (- 4^{- 1} + 1^{- 1})$

Этап 8.3.2

Объединим $\frac{1}{3}$ и $64$ .

$\frac{64}{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3} - 8 (- 4^{- 1} + 1^{- 1})$

Этап 8.3.3

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{64}{3} - \frac{1}{3} \cdot 1 - 8 (- 4^{- 1} + 1^{- 1})$

Этап 8.3.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{64}{3} - \frac{1}{3} - 8 (- 4^{- 1} + 1^{- 1})$

Этап 8.3.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{64 - 1}{3} - 8 (- 4^{- 1} + 1^{- 1})$

Этап 8.3.6

Вычтем $1$ из $64$ .

$\frac{63}{3} - 8 (- 4^{- 1} + 1^{- 1})$

Этап 8.3.7

Сократим общий множитель $63$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.7.1

Вынесем множитель $3$ из $63$ .

$\frac{3 \cdot 21}{3} - 8 (- 4^{- 1} + 1^{- 1})$

Этап 8.3.7.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.7.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\frac{3 \cdot 21}{3 (1)} - 8 (- 4^{- 1} + 1^{- 1})$

Этап 8.3.7.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3 \cdot 21}{3 \cdot 1} - 8 (- 4^{- 1} + 1^{- 1})$

Этап 8.3.7.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{21}{1} - 8 (- 4^{- 1} + 1^{- 1})$

Этап 8.3.7.2.4

Разделим $21$ на $1$ .

$21 - 8 (- 4^{- 1} + 1^{- 1})$

Этап 8.3.8

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$21 - 8 (- \frac{1}{4} + 1^{- 1})$

Этап 8.3.9

Единица в любой степени равна единице.

$21 - 8 (- \frac{1}{4} + 1)$

Этап 8.3.10

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$21 - 8 (- \frac{1}{4} + \frac{4}{4})$

Этап 8.3.11

Объединим числители над общим знаменателем.

$21 - 8 \frac{- 1 + 4}{4}$

Этап 8.3.12

Добавим $- 1$ и $4$ .

$21 - 8 (\frac{3}{4})$

Этап 8.3.13

Объединим $- 8$ и $\frac{3}{4}$ .

$21 + \frac{- 8 \cdot 3}{4}$

Этап 8.3.14

Умножим $- 8$ на $3$ .

$21 + \frac{- 24}{4}$

Этап 8.3.15

Сократим общий множитель $- 24$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.15.1

Вынесем множитель $4$ из $- 24$ .

$21 + \frac{4 \cdot - 6}{4}$

Этап 8.3.15.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.15.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$21 + \frac{4 \cdot - 6}{4 (1)}$

Этап 8.3.15.2.2

Сократим общий множитель.

$21 + \frac{4 \cdot - 6}{4 \cdot 1}$

Этап 8.3.15.2.3

Перепишем это выражение.

$21 + \frac{- 6}{1}$

Этап 8.3.15.2.4

Разделим $- 6$ на $1$ .

$21 - 6$

Этап 8.3.16

Вычтем $6$ из $21$ .

$15$

Этап 9