Математический анализ Примеры

$\int \sec^{2} (x) + 2 \sin (\frac{1}{4} x) - \cot (a n \cdot 5 x) d x$

Этап 1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Объединим $\frac{1}{4}$ и $x$ .

$\int \sec^{2} (x) + 2 \sin (\frac{x}{4}) - \cot (a n \cdot (5 x)) d x$

Этап 1.2

Перенесем $5$ влево от $a n$ .

$\int \sec^{2} (x) + 2 \sin (\frac{x}{4}) - \cot (5 a n x) d x$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int \sec^{2} (x) d x + \int 2 \sin (\frac{x}{4}) d x + \int - \cot (5 a n x) d x$

Этап 3

Поскольку производная $\tan (x)$ равна $\sec^{2} (x)$ , интеграл $\sec^{2} (x)$ равен $\tan (x)$ .

$\tan (x) + C + \int 2 \sin (\frac{x}{4}) d x + \int - \cot (5 a n x) d x$

Этап 4

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$\tan (x) + C + 2 \int \sin (\frac{x}{4}) d x + \int - \cot (5 a n x) d x$

Этап 5

Пусть $u_{1} = \frac{x}{4}$ . Тогда $d u_{1} = \frac{1}{4} d x$ , следовательно $4 d u_{1} = d x$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть $u_{1} = \frac{x}{4}$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Дифференцируем $\frac{x}{4}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{4}]$

Этап 5.1.2

Поскольку $\frac{1}{4}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{x}{4}$ по $x$ равна $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 5.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{4} \cdot 1$

Этап 5.1.4

Умножим $\frac{1}{4}$ на $1$ .

$\frac{1}{4}$

Этап 5.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{1}$ и $d u_{1}$ .

$\tan (x) + C + 2 \int \sin (u_{1}) \frac{1}{\frac{1}{4}} d u_{1} + \int - \cot (5 a n x) d x$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{1}{4}$ .

$\tan (x) + C + 2 \int \sin (u_{1}) (1 \cdot 4) d u_{1} + \int - \cot (5 a n x) d x$

Этап 6.2

Умножим $4$ на $1$ .

$\tan (x) + C + 2 \int \sin (u_{1}) \cdot 4 d u_{1} + \int - \cot (5 a n x) d x$

Этап 6.3

Перенесем $4$ влево от $\sin (u_{1})$ .

$\tan (x) + C + 2 \int 4 \sin (u_{1}) d u_{1} + \int - \cot (5 a n x) d x$

Этап 7

Поскольку $4$ — константа по отношению к $u_{1}$ , вынесем $4$ из-под знака интеграла.

$\tan (x) + C + 2 (4 \int \sin (u_{1}) d u_{1}) + \int - \cot (5 a n x) d x$

Этап 8

Умножим $4$ на $2$ .

$\tan (x) + C + 8 \int \sin (u_{1}) d u_{1} + \int - \cot (5 a n x) d x$

Этап 9

Интеграл $\sin (u_{1})$ по $u_{1}$ имеет вид $- \cos (u_{1})$ .

$\tan (x) + C + 8 (- \cos (u_{1}) + C) + \int - \cot (5 a n x) d x$

Этап 10

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\tan (x) + C + 8 (- \cos (u_{1}) + C) - \int \cot (5 a n x) d x$

Этап 11

Пусть $u_{2} = 5 a n x$ . Тогда $d u_{2} = 5 a n d x$ , следовательно $\frac{1}{5 a n} d u_{2} = d x$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Пусть $u_{2} = 5 a n x$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1

Дифференцируем $5 a n x$ .

$\frac{d}{d x} [5 a n x]$

Этап 11.1.2

Поскольку $5 a n$ является константой относительно $x$ , производная $5 a n x$ по $x$ равна $5 a n \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 a n \frac{d}{d x} [x]$

Этап 11.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$5 a n \cdot 1$

Этап 11.1.4

Умножим $5$ на $1$ .

$5 a n$

Этап 11.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$\tan (x) + C + 8 (- \cos (u_{1}) + C) - \int \cot (u_{2}) \frac{1}{5 a n} d u_{2}$

Этап 12

Объединим $\cot (u_{2})$ и $\frac{1}{5 a n}$ .

$\tan (x) + C + 8 (- \cos (u_{1}) + C) - \int \frac{\cot (u_{2})}{5 a n} d u_{2}$

Этап 13

Поскольку $\frac{1}{5 a n}$ — константа по отношению к $u_{2}$ , вынесем $\frac{1}{5 a n}$ из-под знака интеграла.

$\tan (x) + C + 8 (- \cos (u_{1}) + C) - (\frac{1}{5 a n} \int \cot (u_{2}) d u_{2})$

Этап 14

Интеграл $\cot (u_{2})$ по $u_{2}$ имеет вид $\ln (| \sin (u_{2}) |)$ .

$\tan (x) + C + 8 (- \cos (u_{1}) + C) - \frac{1}{5 a n} (\ln (| \sin (u_{2}) |) + C)$

Этап 15

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Упростим.

$\tan (x) - 8 \cos (u_{1}) - \frac{1}{5 a n} \ln (| \sin (u_{2}) |) + C$

Этап 15.2

Объединим $\ln (| \sin (u_{2}) |)$ и $\frac{1}{5 a n}$ .

$\tan (x) - 8 \cos (u_{1}) - \frac{\ln (| \sin (u_{2}) |)}{5 a n} + C$

Этап 16

Выполним обратную подстановку для каждой подставленной переменной интегрирования.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $\frac{x}{4}$ .

$\tan (x) - 8 \cos (\frac{x}{4}) - \frac{\ln (| \sin (u_{2}) |)}{5 a n} + C$

Этап 16.2

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $5 a n x$ .

$\tan (x) - 8 \cos (\frac{x}{4}) - \frac{\ln (| \sin (5 a n x) |)}{5 a n} + C$

Этап 17

Изменим порядок членов.

$\tan (x) - 8 \cos (\frac{1}{4} x) - \frac{\ln (| \sin (5 a n x) |)}{5 a n} + C$