Математический анализ Примеры

$5^{x} + 2 x$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $5^{x} + 2 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [5^{x}] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [5^{x}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ имеет вид $a^{x} \ln (a)$ , где $a$ = $5$ .

$5^{x} \ln (5) + \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5^{x} \ln (5) + 2 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$5^{x} \ln (5) + 2 \cdot 1$

Этап 1.3.3

Умножим $2$ на $1$ .

$f' (x) = 5^{x} \ln (5) + 2$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $5^{x} \ln (5) + 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [5^{x} \ln (5)] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [5^{x} \ln (5)] + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [5^{x} \ln (5)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $\ln (5)$ является константой относительно $x$ , производная $5^{x} \ln (5)$ по $x$ равна $\ln (5) \frac{d}{d x} [5^{x}]$ .

$\ln (5) \frac{d}{d x} [5^{x}] + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 2.2.2

$\ln (5) (5^{x} \ln (5)) + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 2.2.3

Возведем $\ln (5)$ в степень $1$ .

$5^{x} (\ln^{1} (5) \ln (5)) + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 2.2.4

Возведем $\ln (5)$ в степень $1$ .

$5^{x} (\ln^{1} (5) \ln^{1} (5)) + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 2.2.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$5^{x} {\ln (5)}^{1 + 1} + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 2.2.6

Добавим $1$ и $1$ .

$5^{x} \ln^{2} (5) + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$5^{x} \ln^{2} (5) + 0$

Этап 2.3.2

Добавим $5^{x} \ln^{2} (5)$ и $0$ .

$f'' (x) = 5^{x} \ln^{2} (5)$

Этап 3

Найдем третью производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $\ln^{2} (5)$ является константой относительно $x$ , производная $5^{x} \ln^{2} (5)$ по $x$ равна $\ln^{2} (5) \frac{d}{d x} [5^{x}]$ .

$\ln^{2} (5) \frac{d}{d x} [5^{x}]$

Этап 3.2

$\ln^{2} (5) (5^{x} \ln (5))$

Этап 3.3

Умножим $\ln^{2} (5)$ на $\ln (5)$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Перенесем $\ln (5)$ .

$\ln (5) \ln^{2} (5) \cdot 5^{x}$

Этап 3.3.2

Умножим $\ln (5)$ на $\ln^{2} (5)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Возведем $\ln (5)$ в степень $1$ .

$\ln^{1} (5) \ln^{2} (5) \cdot 5^{x}$

Этап 3.3.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

${\ln (5)}^{1 + 2} \cdot 5^{x}$

Этап 3.3.3

Добавим $1$ и $2$ .

$\ln^{3} (5) \cdot 5^{x}$

Этап 3.4

Изменим порядок множителей в $\ln^{3} (5) \cdot 5^{x}$ .

$f''' (x) = 5^{x} \ln^{3} (5)$