Математический анализ Примеры

$\int \sqrt{\frac{x^{2}}{2}} d x$

Этап 1

Пусть $u_{2} = \sqrt{\frac{x^{2}}{2}}$ . Тогда $d u_{2} = \frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} d x$ , следовательно $2^{\frac{1}{2}} d u_{2} = d x$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u_{2} = \sqrt{\frac{x^{2}}{2}}$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $\sqrt{\frac{x^{2}}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{\frac{x^{2}}{2}}]$

Этап 1.1.2

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{\frac{x^{2}}{2}}$ в виде ${(\frac{x^{2}}{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(\frac{x^{2}}{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 1.1.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ и $g (x) = \frac{x^{2}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $\frac{x^{2}}{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$

Этап 1.1.3.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $\frac{x^{2}}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2}}{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$

Этап 1.1.4

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2}}{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$

Этап 1.1.5

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2}}{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$

Этап 1.1.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2}}{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$

Этап 1.1.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.7.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2}}{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$

Этап 1.1.7.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2}}{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$

Этап 1.1.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2}}{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$

Этап 1.1.9

Поскольку $\frac{1}{2}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{x^{2}}{2}$ по $x$ равна $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2}}{2})}^{- \frac{1}{2}} (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 1.1.10

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.10.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 2} {(\frac{x^{2}}{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.1.10.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{1}{4} {(\frac{x^{2}}{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.1.11

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{1}{4} {(\frac{x^{2}}{2})}^{- \frac{1}{2}} (2 x)$

Этап 1.1.12

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.12.1

Объединим $2$ и $\frac{1}{4}$ .

$\frac{2}{4} {(\frac{x^{2}}{2})}^{- \frac{1}{2}} x$

Этап 1.1.12.2

Объединим $x$ и $\frac{2}{4}$ .

$\frac{x \cdot 2}{4} {(\frac{x^{2}}{2})}^{- \frac{1}{2}}$

Этап 1.1.12.3

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$\frac{2 \cdot x}{4} {(\frac{x^{2}}{2})}^{- \frac{1}{2}}$

Этап 1.1.12.4

Сократим общий множитель $2$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.12.4.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x$ .

$\frac{2 (x)}{4} {(\frac{x^{2}}{2})}^{- \frac{1}{2}}$

Этап 1.1.12.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.12.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{2 x}{2 \cdot 2} {(\frac{x^{2}}{2})}^{- \frac{1}{2}}$

Этап 1.1.12.4.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2 \cdot 2} {(\frac{x^{2}}{2})}^{- \frac{1}{2}}$

Этап 1.1.12.4.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{x}{2} {(\frac{x^{2}}{2})}^{- \frac{1}{2}}$

Этап 1.1.13

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.13.1

Изменим знак экспоненты, переписав основание в виде обратной величины.

$\frac{x}{2} {(\frac{2}{x^{2}})}^{\frac{1}{2}}$

Этап 1.1.13.2

Применим правило умножения к $\frac{2}{x^{2}}$ .

$\frac{x}{2} \cdot \frac{2^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.1.13.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.13.3.1

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.13.3.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x}{2} \cdot \frac{2^{\frac{1}{2}}}{x^{2 (\frac{1}{2})}}$

Этап 1.1.13.3.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.13.3.1.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x}{2} \cdot \frac{2^{\frac{1}{2}}}{x^{2 (\frac{1}{2})}}$

Этап 1.1.13.3.1.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{x}{2} \cdot \frac{2^{\frac{1}{2}}}{x^{1}}$

Этап 1.1.13.3.2

Упростим.

$\frac{x}{2} \cdot \frac{2^{\frac{1}{2}}}{x}$

Этап 1.1.13.3.3

Умножим $\frac{x}{2}$ на $\frac{2^{\frac{1}{2}}}{x}$ .

$\frac{x \cdot 2^{\frac{1}{2}}}{2 x}$

Этап 1.1.13.3.4

Перенесем $2^{\frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{x}{2 x \cdot 2^{- \frac{1}{2}}}$

Этап 1.1.13.3.5

Умножим $2$ на $2^{- \frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.13.3.5.1

Перенесем $2^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{x}{2^{- \frac{1}{2}} \cdot 2 x}$

Этап 1.1.13.3.5.2

Умножим $2^{- \frac{1}{2}}$ на $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.13.3.5.2.1

Возведем $2$ в степень $1$ .

$\frac{x}{2^{- \frac{1}{2}} \cdot 2^{1} x}$

Этап 1.1.13.3.5.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{x}{2^{- \frac{1}{2} + 1} x}$

Этап 1.1.13.3.5.3

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{x}{2^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}} x}$

Этап 1.1.13.3.5.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{x}{2^{\frac{- 1 + 2}{2}} x}$

Этап 1.1.13.3.5.5

Добавим $- 1$ и $2$ .

$\frac{x}{2^{\frac{1}{2}} x}$

Этап 1.1.13.3.6

Сократим общий множитель.

$\frac{x}{2^{\frac{1}{2}} x}$

Этап 1.1.13.3.7

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$\int u_{2} \frac{1}{\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}}} d u_{2}$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}}$ .

$\int u_{2} (1 \cdot 2^{\frac{1}{2}}) d u_{2}$

Этап 2.2

Умножим $2^{\frac{1}{2}}$ на $1$ .

$\int u_{2} \cdot 2^{\frac{1}{2}} d u_{2}$

Этап 3

Поскольку $2^{\frac{1}{2}}$ — константа по отношению к $u_{2}$ , вынесем $2^{\frac{1}{2}}$ из-под знака интеграла.

$2^{\frac{1}{2}} \int u_{2} d u_{2}$

Этап 4

По правилу степени интеграл $u_{2}$ по $u_{2}$ имеет вид $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ .

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем $2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$ в виде $2^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$ .

$2^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$

Этап 5.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Объединим $2^{\frac{1}{2}}$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2^{\frac{1}{2}}}{2} {u_{2}}^{2} + C$

Этап 5.2.2

Перенесем $2^{\frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 2^{- \frac{1}{2}}} {u_{2}}^{2} + C$

Этап 5.2.3

Умножим $2$ на $2^{- \frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Умножим $2$ на $2^{- \frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.1

Возведем $2$ в степень $1$ .

$\frac{1}{2^{1} \cdot 2^{- \frac{1}{2}}} {u_{2}}^{2} + C$

Этап 5.2.3.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{2^{1 - \frac{1}{2}}} {u_{2}}^{2} + C$

Этап 5.2.3.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{1}{2^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} {u_{2}}^{2} + C$

Этап 5.2.3.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{2^{\frac{2 - 1}{2}}} {u_{2}}^{2} + C$

Этап 5.2.3.4

Вычтем $1$ из $2$ .

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} {u_{2}}^{2} + C$

Этап 6

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $\sqrt{\frac{x^{2}}{2}}$ .

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} {\sqrt{\frac{x^{2}}{2}}}^{2} + C$

Этап 7

Изменим порядок членов.

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} {\sqrt{\frac{1}{2} x^{2}}}^{2} + C$