Математический анализ Примеры

$y = \frac{{(x^{3} + 4)}^{5}}{3 x^{4} - 2}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = {(x^{3} + 4)}^{5}$ и $g (x) = 3 x^{4} - 2$ .

$\frac{(3 x^{4} - 2) \frac{d}{d x} [{(x^{3} + 4)}^{5}] - {(x^{3} + 4)}^{5} \frac{d}{d x} [3 x^{4} - 2]}{{(3 x^{4} - 2)}^{2}}$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{5}$ и $g (x) = x^{3} + 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{3} + 4$ .

$\frac{(3 x^{4} - 2) (\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d x} [x^{3} + 4]) - {(x^{3} + 4)}^{5} \frac{d}{d x} [3 x^{4} - 2]}{{(3 x^{4} - 2)}^{2}}$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 5$ .

$\frac{(3 x^{4} - 2) (5 u^{4} \frac{d}{d x} [x^{3} + 4]) - {(x^{3} + 4)}^{5} \frac{d}{d x} [3 x^{4} - 2]}{{(3 x^{4} - 2)}^{2}}$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{3} + 4$ .

$\frac{(3 x^{4} - 2) (5 {(x^{3} + 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{3} + 4]) - {(x^{3} + 4)}^{5} \frac{d}{d x} [3 x^{4} - 2]}{{(3 x^{4} - 2)}^{2}}$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перенесем $5$ влево от $3 x^{4} - 2$ .

$\frac{5 \cdot (3 x^{4} - 2) {(x^{3} + 4)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{3} + 4] - {(x^{3} + 4)}^{5} \frac{d}{d x} [3 x^{4} - 2]}{{(3 x^{4} - 2)}^{2}}$

Этап 3.2

По правилу суммы производная $x^{3} + 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{5 (3 x^{4} - 2) {(x^{3} + 4)}^{4} (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [4]) - {(x^{3} + 4)}^{5} \frac{d}{d x} [3 x^{4} - 2]}{{(3 x^{4} - 2)}^{2}}$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$\frac{5 (3 x^{4} - 2) {(x^{3} + 4)}^{4} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [4]) - {(x^{3} + 4)}^{5} \frac{d}{d x} [3 x^{4} - 2]}{{(3 x^{4} - 2)}^{2}}$

Этап 3.4

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{5 (3 x^{4} - 2) {(x^{3} + 4)}^{4} (3 x^{2} + 0) - {(x^{3} + 4)}^{5} \frac{d}{d x} [3 x^{4} - 2]}{{(3 x^{4} - 2)}^{2}}$

Этап 3.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Добавим $3 x^{2}$ и $0$ .

$\frac{5 (3 x^{4} - 2) {(x^{3} + 4)}^{4} (3 x^{2}) - {(x^{3} + 4)}^{5} \frac{d}{d x} [3 x^{4} - 2]}{{(3 x^{4} - 2)}^{2}}$

Этап 3.5.2

Умножим $3$ на $5$ .

$\frac{15 (3 x^{4} - 2) {(x^{3} + 4)}^{4} x^{2} - {(x^{3} + 4)}^{5} \frac{d}{d x} [3 x^{4} - 2]}{{(3 x^{4} - 2)}^{2}}$

Этап 3.6

По правилу суммы производная $3 x^{4} - 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{15 (3 x^{4} - 2) {(x^{3} + 4)}^{4} x^{2} - {(x^{3} + 4)}^{5} (\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(3 x^{4} - 2)}^{2}}$

Этап 3.7

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{4}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{15 (3 x^{4} - 2) {(x^{3} + 4)}^{4} x^{2} - {(x^{3} + 4)}^{5} (3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(3 x^{4} - 2)}^{2}}$

Этап 3.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$\frac{15 (3 x^{4} - 2) {(x^{3} + 4)}^{4} x^{2} - {(x^{3} + 4)}^{5} (3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(3 x^{4} - 2)}^{2}}$

Этап 3.9

Умножим $4$ на $3$ .

$\frac{15 (3 x^{4} - 2) {(x^{3} + 4)}^{4} x^{2} - {(x^{3} + 4)}^{5} (12 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(3 x^{4} - 2)}^{2}}$

Этап 3.10

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{15 (3 x^{4} - 2) {(x^{3} + 4)}^{4} x^{2} - {(x^{3} + 4)}^{5} (12 x^{3} + 0)}{{(3 x^{4} - 2)}^{2}}$

Этап 3.11

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.1

Добавим $12 x^{3}$ и $0$ .

$\frac{15 (3 x^{4} - 2) {(x^{3} + 4)}^{4} x^{2} - {(x^{3} + 4)}^{5} (12 x^{3})}{{(3 x^{4} - 2)}^{2}}$

Этап 3.11.2

Умножим $12$ на $- 1$ .

$\frac{15 (3 x^{4} - 2) {(x^{3} + 4)}^{4} x^{2} - 12 {(x^{3} + 4)}^{5} x^{3}}{{(3 x^{4} - 2)}^{2}}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(15 (3 x^{4}) + 15 \cdot - 2) {(x^{3} + 4)}^{4} x^{2} - 12 {(x^{3} + 4)}^{5} x^{3}}{{(3 x^{4} - 2)}^{2}}$

Этап 4.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вынесем множитель ${(x^{3} + 4)}^{4} x^{2}$ из $(15 \cdot 3 x^{4} + 15 \cdot - 2) {(x^{3} + 4)}^{4} x^{2} - 12 {(x^{3} + 4)}^{5} x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Вынесем множитель ${(x^{3} + 4)}^{4} x^{2}$ из $(15 \cdot 3 x^{4} + 15 \cdot - 2) {(x^{3} + 4)}^{4} x^{2}$ .

$\frac{{(x^{3} + 4)}^{4} x^{2} (15 \cdot 3 x^{4} + 15 \cdot - 2) - 12 {(x^{3} + 4)}^{5} x^{3}}{{(3 x^{4} - 2)}^{2}}$

Этап 4.2.1.2

Вынесем множитель ${(x^{3} + 4)}^{4} x^{2}$ из $- 12 {(x^{3} + 4)}^{5} x^{3}$ .

$\frac{{(x^{3} + 4)}^{4} x^{2} (15 \cdot 3 x^{4} + 15 \cdot - 2) + {(x^{3} + 4)}^{4} x^{2} (- 12 (x^{3} + 4) x)}{{(3 x^{4} - 2)}^{2}}$

Этап 4.2.1.3

Вынесем множитель ${(x^{3} + 4)}^{4} x^{2}$ из ${(x^{3} + 4)}^{4} x^{2} (15 \cdot 3 x^{4} + 15 \cdot - 2) + {(x^{3} + 4)}^{4} x^{2} (- 12 (x^{3} + 4) x)$ .

$\frac{{(x^{3} + 4)}^{4} x^{2} (15 \cdot 3 x^{4} + 15 \cdot - 2 - 12 (x^{3} + 4) x)}{{(3 x^{4} - 2)}^{2}}$

Этап 4.2.2

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Умножим $15$ на $3$ .

$\frac{{(x^{3} + 4)}^{4} x^{2} (45 x^{4} + 15 \cdot - 2 - 12 (x^{3} + 4) x)}{{(3 x^{4} - 2)}^{2}}$

Этап 4.2.2.2

Умножим $15$ на $- 2$ .

$\frac{{(x^{3} + 4)}^{4} x^{2} (45 x^{4} - 30 - 12 (x^{3} + 4) x)}{{(3 x^{4} - 2)}^{2}}$

Этап 4.2.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{{(x^{3} + 4)}^{4} x^{2} (45 x^{4} - 30 + (- 12 x^{3} - 12 \cdot 4) x)}{{(3 x^{4} - 2)}^{2}}$

Этап 4.2.3.2

Умножим $- 12$ на $4$ .

$\frac{{(x^{3} + 4)}^{4} x^{2} (45 x^{4} - 30 + (- 12 x^{3} - 48) x)}{{(3 x^{4} - 2)}^{2}}$

Этап 4.2.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{{(x^{3} + 4)}^{4} x^{2} (45 x^{4} - 30 - 12 x^{3} x - 48 x)}{{(3 x^{4} - 2)}^{2}}$

Этап 4.2.3.4

Умножим $x^{3}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.4.1

Перенесем $x$ .

$\frac{{(x^{3} + 4)}^{4} x^{2} (45 x^{4} - 30 - 12 (x \cdot x^{3}) - 48 x)}{{(3 x^{4} - 2)}^{2}}$

Этап 4.2.3.4.2

Умножим $x$ на $x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.4.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{{(x^{3} + 4)}^{4} x^{2} (45 x^{4} - 30 - 12 (x^{1} x^{3}) - 48 x)}{{(3 x^{4} - 2)}^{2}}$

Этап 4.2.3.4.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{{(x^{3} + 4)}^{4} x^{2} (45 x^{4} - 30 - 12 x^{1 + 3} - 48 x)}{{(3 x^{4} - 2)}^{2}}$

Этап 4.2.3.4.3

Добавим $1$ и $3$ .

$\frac{{(x^{3} + 4)}^{4} x^{2} (45 x^{4} - 30 - 12 x^{4} - 48 x)}{{(3 x^{4} - 2)}^{2}}$

Этап 4.2.4

Вычтем $12 x^{4}$ из $45 x^{4}$ .

$\frac{{(x^{3} + 4)}^{4} x^{2} (33 x^{4} - 30 - 48 x)}{{(3 x^{4} - 2)}^{2}}$

Этап 4.2.5

Вынесем множитель $3$ из $33 x^{4} - 30 - 48 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.1

Вынесем множитель $3$ из $33 x^{4}$ .

$\frac{{(x^{3} + 4)}^{4} x^{2} (3 (11 x^{4}) - 30 - 48 x)}{{(3 x^{4} - 2)}^{2}}$

Этап 4.2.5.2

Вынесем множитель $3$ из $- 30$ .

$\frac{{(x^{3} + 4)}^{4} x^{2} (3 (11 x^{4}) + 3 (- 10) - 48 x)}{{(3 x^{4} - 2)}^{2}}$

Этап 4.2.5.3

Вынесем множитель $3$ из $- 48 x$ .

$\frac{{(x^{3} + 4)}^{4} x^{2} (3 (11 x^{4}) + 3 (- 10) + 3 (- 16 x))}{{(3 x^{4} - 2)}^{2}}$

Этап 4.2.5.4

Вынесем множитель $3$ из $3 (11 x^{4}) + 3 (- 10)$ .

$\frac{{(x^{3} + 4)}^{4} x^{2} (3 (11 x^{4} - 10) + 3 (- 16 x))}{{(3 x^{4} - 2)}^{2}}$

Этап 4.2.5.5

Вынесем множитель $3$ из $3 (11 x^{4} - 10) + 3 (- 16 x)$ .

$\frac{{(x^{3} + 4)}^{4} x^{2} (3 (11 x^{4} - 10 - 16 x))}{{(3 x^{4} - 2)}^{2}}$

Этап 4.2.6

Изменим порядок членов.

$\frac{{(x^{3} + 4)}^{4} x^{2} \cdot 3 (11 x^{4} - 16 x - 10)}{{(3 x^{4} - 2)}^{2}}$

Этап 4.3

Перенесем $3$ влево от ${(x^{3} + 4)}^{4} x^{2}$ .

$\frac{3 {(x^{3} + 4)}^{4} x^{2} (11 x^{4} - 16 x - 10)}{{(3 x^{4} - 2)}^{2}}$

Этап 4.4

Изменим порядок членов.

$\frac{3 x^{2} {(x^{3} + 4)}^{4} (11 x^{4} - 16 x - 10)}{{(3 x^{4} - 2)}^{2}}$