Математический анализ Примеры

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\sin (x - \frac{π}{4})}{x}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $\frac{π}{2}$ .

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{2}} \sin (x - \frac{π}{4})}{lim_{x \to \frac{π}{2}} x}$

Этап 2

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x - \frac{π}{4})}{lim_{x \to \frac{π}{2}} x}$

Этап 3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\frac{π}{2}$ .

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x - lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{π}{4})}{lim_{x \to \frac{π}{2}} x}$

Этап 4

Найдем предел $\frac{π}{4}$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\frac{π}{2}$ .

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x - \frac{π}{4})}{lim_{x \to \frac{π}{2}} x}$

Этап 5

Найдем значения пределов, подставив значение $\frac{π}{2}$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $\frac{π}{2}$ для $x$ .

$\frac{\sin (\frac{π}{2} - \frac{π}{4})}{lim_{x \to \frac{π}{2}} x}$

Этап 5.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $\frac{π}{2}$ для $x$ .

$\frac{\sin (\frac{π}{2} - \frac{π}{4})}{\frac{π}{2}}$

Этап 6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\sin (\frac{π}{2} - \frac{π}{4}) \frac{2}{π}$

Этап 6.2

Чтобы записать $\frac{π}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\sin (\frac{π}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{4}) \frac{2}{π}$

Этап 6.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $4$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Умножим $\frac{π}{2}$ на $\frac{2}{2}$ .

$\sin (\frac{π \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{π}{4}) \frac{2}{π}$

Этап 6.3.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\sin (\frac{π \cdot 2}{4} - \frac{π}{4}) \frac{2}{π}$

Этап 6.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\sin (\frac{π \cdot 2 - π}{4}) \frac{2}{π}$

Этап 6.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Перенесем $2$ влево от $π$ .

$\sin (\frac{2 \cdot π - π}{4}) \frac{2}{π}$

Этап 6.5.2

Вычтем $π$ из $2 π$ .

$\sin (\frac{π}{4}) \frac{2}{π}$

Этап 6.6

Точное значение $\sin (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{π}$

Этап 6.7

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{π}$

Этап 6.7.2

Перепишем это выражение.

$\sqrt{2} \frac{1}{π}$

Этап 6.8

Объединим $\sqrt{2}$ и $\frac{1}{π}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{π}$

Этап 7

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{\sqrt{2}}{π}$

Десятичная форма:

$0.45015815 \dots$