Математический анализ Примеры

$3 x^{2} + 5 x^{2} y^{2} = 2 y$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d y} (3 x^{2} + 5 x^{2} y^{2}) = \frac{d}{d y} (2 y)$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $3 x^{2} + 5 x^{2} y^{2}$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [3 x^{2}] + \frac{d}{d y} [5 x^{2} y^{2}]$ .

$\frac{d}{d y} [3 x^{2}] + \frac{d}{d y} [5 x^{2} y^{2}]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d y} [3 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $3$ является константой относительно $y$ , производная $3 x^{2}$ по $y$ равна $3 \frac{d}{d y} [x^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [5 x^{2} y^{2}]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ имеет вид $f' (g (y)) g' (y)$ , где $f (y) = y^{2}$ и $g (y) = x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $x$ .

$3 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [5 x^{2} y^{2}]$

Этап 2.2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$3 (2 u_{1} \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [5 x^{2} y^{2}]$

Этап 2.2.2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $x$ .

$3 (2 x \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [5 x^{2} y^{2}]$

Этап 2.2.3

Перепишем $\frac{d}{d y} [x]$ в виде $x'$ .

$3 (2 x x') + \frac{d}{d y} [5 x^{2} y^{2}]$

Этап 2.2.4

Умножим $2$ на $3$ .

$6 x x' + \frac{d}{d y} [5 x^{2} y^{2}]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d y} [5 x^{2} y^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $5$ является константой относительно $y$ , производная $5 x^{2} y^{2}$ по $y$ равна $5 \frac{d}{d y} [x^{2} y^{2}]$ .

$6 x x' + 5 \frac{d}{d y} [x^{2} y^{2}]$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ имеет вид $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ , где $f (y) = x^{2}$ и $g (y) = y^{2}$ .

$6 x x' + 5 (x^{2} \frac{d}{d y} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d y} [x^{2}])$

Этап 2.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$6 x x' + 5 (x^{2} (2 y) + y^{2} \frac{d}{d y} [x^{2}])$

Этап 2.3.4

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $x$ .

$6 x x' + 5 (x^{2} (2 y) + y^{2} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d y} [x]))$

Этап 2.3.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$6 x x' + 5 (x^{2} (2 y) + y^{2} (2 u_{2} \frac{d}{d y} [x]))$

Этап 2.3.4.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $x$ .

$6 x x' + 5 (x^{2} (2 y) + y^{2} (2 x \frac{d}{d y} [x]))$

Этап 2.3.5

Перепишем $\frac{d}{d y} [x]$ в виде $x'$ .

$6 x x' + 5 (x^{2} (2 y) + y^{2} (2 x x'))$

Этап 2.3.6

Перенесем $2$ влево от $x^{2}$ .

$6 x x' + 5 (2 \cdot x^{2} y + y^{2} (2 x x'))$

Этап 2.3.7

Перенесем $2$ влево от $y^{2}$ .

$6 x x' + 5 (2 x^{2} y + 2 y^{2} x x')$

Этап 2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$6 x x' + 5 (2 x^{2} y) + 5 (2 y^{2} x x')$

Этап 2.4.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Умножим $2$ на $5$ .

$6 x x' + 10 (x^{2} y) + 5 (2 y^{2} x x')$

Этап 2.4.2.2

Умножим $2$ на $5$ .

$6 x x' + 10 x^{2} y + 10 y^{2} x x'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $y$ , производная $2 y$ по $y$ равна $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$2 \frac{d}{d y} [y]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Этап 3.3

Умножим $2$ на $1$ .

$2$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$6 x x' + 10 x^{2} y + 10 y^{2} x x' = 2$

Этап 5

Решим относительно $x'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вычтем $10 x^{2} y$ из обеих частей уравнения.

$6 x x' + 10 y^{2} x x' = 2 - 10 x^{2} y$

Этап 5.2

Вынесем множитель $2 x x'$ из $6 x x' + 10 y^{2} x x'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вынесем множитель $2 x x'$ из $6 x x'$ .

$2 x x' \cdot 3 + 10 y^{2} x x' = 2 - 10 x^{2} y$

Этап 5.2.2

Вынесем множитель $2 x x'$ из $10 y^{2} x x'$ .

$2 x x' \cdot 3 + 2 x x' (5 y^{2}) = 2 - 10 x^{2} y$

Этап 5.2.3

Вынесем множитель $2 x x'$ из $2 x x' \cdot 3 + 2 x x' (5 y^{2})$ .

$2 x x' (3 + 5 y^{2}) = 2 - 10 x^{2} y$

Этап 5.3

Разделим каждый член $2 x x' (3 + 5 y^{2}) = 2 - 10 x^{2} y$ на $2 x (3 + 5 y^{2})$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Разделим каждый член $2 x x' (3 + 5 y^{2}) = 2 - 10 x^{2} y$ на $2 x (3 + 5 y^{2})$ .

$\frac{2 x x' (3 + 5 y^{2})}{2 x (3 + 5 y^{2})} = \frac{2}{2 x (3 + 5 y^{2})} + \frac{- 10 x^{2} y}{2 x (3 + 5 y^{2})}$

Этап 5.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x x' (3 + 5 y^{2})}{2 x (3 + 5 y^{2})} = \frac{2}{2 x (3 + 5 y^{2})} + \frac{- 10 x^{2} y}{2 x (3 + 5 y^{2})}$

Этап 5.3.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{x x' (3 + 5 y^{2})}{x (3 + 5 y^{2})} = \frac{2}{2 x (3 + 5 y^{2})} + \frac{- 10 x^{2} y}{2 x (3 + 5 y^{2})}$

Этап 5.3.2.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x x' (3 + 5 y^{2})}{x (3 + 5 y^{2})} = \frac{2}{2 x (3 + 5 y^{2})} + \frac{- 10 x^{2} y}{2 x (3 + 5 y^{2})}$

Этап 5.3.2.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{x' (3 + 5 y^{2})}{3 + 5 y^{2}} = \frac{2}{2 x (3 + 5 y^{2})} + \frac{- 10 x^{2} y}{2 x (3 + 5 y^{2})}$

Этап 5.3.2.3

Сократим общий множитель $3 + 5 y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x' (3 + 5 y^{2})}{3 + 5 y^{2}} = \frac{2}{2 x (3 + 5 y^{2})} + \frac{- 10 x^{2} y}{2 x (3 + 5 y^{2})}$

Этап 5.3.2.3.2

Разделим $x'$ на $1$ .

$x' = \frac{2}{2 x (3 + 5 y^{2})} + \frac{- 10 x^{2} y}{2 x (3 + 5 y^{2})}$

Этап 5.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.1.1

Сократим общий множитель.

$x' = \frac{2}{2 x (3 + 5 y^{2})} + \frac{- 10 x^{2} y}{2 x (3 + 5 y^{2})}$

Этап 5.3.3.1.1.2

Перепишем это выражение.

$x' = \frac{1}{x (3 + 5 y^{2})} + \frac{- 10 x^{2} y}{2 x (3 + 5 y^{2})}$

Этап 5.3.3.1.2

Сократим общий множитель $- 10$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 10 x^{2} y$ .

$x' = \frac{1}{x (3 + 5 y^{2})} + \frac{2 (- 5 x^{2} y)}{2 x (3 + 5 y^{2})}$

Этап 5.3.3.1.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x (3 + 5 y^{2})$ .

$x' = \frac{1}{x (3 + 5 y^{2})} + \frac{2 (- 5 x^{2} y)}{2 (x (3 + 5 y^{2}))}$

Этап 5.3.3.1.2.2.2

Сократим общий множитель.

$x' = \frac{1}{x (3 + 5 y^{2})} + \frac{2 (- 5 x^{2} y)}{2 (x (3 + 5 y^{2}))}$

Этап 5.3.3.1.2.2.3

Перепишем это выражение.

$x' = \frac{1}{x (3 + 5 y^{2})} + \frac{- 5 x^{2} y}{x (3 + 5 y^{2})}$

Этап 5.3.3.1.3

Сократим общий множитель $x^{2}$ и $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.3.1

Вынесем множитель $x$ из $- 5 x^{2} y$ .

$x' = \frac{1}{x (3 + 5 y^{2})} + \frac{x (- 5 x y)}{x (3 + 5 y^{2})}$

Этап 5.3.3.1.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.3.2.1

Сократим общий множитель.

$x' = \frac{1}{x (3 + 5 y^{2})} + \frac{x (- 5 x y)}{x (3 + 5 y^{2})}$

Этап 5.3.3.1.3.2.2

Перепишем это выражение.

$x' = \frac{1}{x (3 + 5 y^{2})} + \frac{- 5 x y}{3 + 5 y^{2}}$

Этап 5.3.3.1.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x' = \frac{1}{x (3 + 5 y^{2})} - \frac{5 x y}{3 + 5 y^{2}}$

Этап 5.3.3.2

Чтобы записать $- \frac{5 x y}{3 + 5 y^{2}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x}{x}$ .

$x' = \frac{1}{x (3 + 5 y^{2})} - \frac{5 x y}{3 + 5 y^{2}} \cdot \frac{x}{x}$

Этап 5.3.3.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $x (3 + 5 y^{2})$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.3.1

Умножим $\frac{5 x y}{3 + 5 y^{2}}$ на $\frac{x}{x}$ .

$x' = \frac{1}{x (3 + 5 y^{2})} - \frac{5 x y x}{(3 + 5 y^{2}) x}$

Этап 5.3.3.3.2

Изменим порядок множителей в $(3 + 5 y^{2}) x$ .

$x' = \frac{1}{x (3 + 5 y^{2})} - \frac{5 x y x}{x (3 + 5 y^{2})}$

Этап 5.3.3.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$x' = \frac{1 - 5 x y x}{x (3 + 5 y^{2})}$

Этап 5.3.3.5

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.5.1

Перенесем $x$ .

$x' = \frac{1 - 5 (x \cdot x) y}{x (3 + 5 y^{2})}$

Этап 5.3.3.5.2

Умножим $x$ на $x$ .

$x' = \frac{1 - 5 x^{2} y}{x (3 + 5 y^{2})}$

Этап 6

Заменим $x'$ на $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{1 - 5 x^{2} y}{x (3 + 5 y^{2})}$