Математический анализ Примеры

$\frac{x^{3}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$

Этап 1

Запишем $\frac{x^{3}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$ в виде функции.

$f (x) = \frac{x^{3}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int \frac{x^{3}}{\sqrt{x^{2} + 1}} d x$

Этап 4

Пусть $x = \tan (t)$ , где $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Тогда $d x = \sec^{2} (t) d t$ . Заметим, что поскольку $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , выражение $\sec^{2} (t)$ положительно.

$\int \frac{\tan^{3} (t)}{\sqrt{\tan^{2} (t) + 1}} \sec^{2} (t) d t$

Этап 5

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим $\sqrt{\tan^{2} (t) + 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Применим формулу Пифагора.

$\int \frac{\tan^{3} (t)}{\sqrt{\sec^{2} (t)}} \sec^{2} (t) d t$

Этап 5.1.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\int \frac{\tan^{3} (t)}{\sec (t)} \sec^{2} (t) d t$

Этап 5.2

Сократим общий множитель $\sec (t)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вынесем множитель $\sec (t)$ из $\sec^{2} (t)$ .

$\int \frac{\tan^{3} (t)}{\sec (t)} (\sec (t) \sec (t)) d t$

Этап 5.2.2

Сократим общий множитель.

$\int \frac{\tan^{3} (t)}{\sec (t)} (\sec (t) \sec (t)) d t$

Этап 5.2.3

Перепишем это выражение.

$\int \tan^{3} (t) \sec (t) d t$

Этап 6

Возведем $\sec (t)$ в степень $1$ .

$\int \tan^{3} (t) \sec^{1} (t) d t$

Этап 7

Вынесем $\tan^{2} (t)$ за скобки.

$\int \tan^{2} (t) \tan (t) \sec^{1} (t) d t$

Этап 8

Используя формулы Пифагора, запишем $\tan^{2} (t)$ в виде $- 1 + \sec^{2} (t)$ .

$\int (- 1 + \sec^{2} (t)) \tan (t) \sec^{1} (t) d t$

Этап 9

Упростим.

$\int (- 1 + \sec^{2} (t)) \tan (t) \sec (t) d t$

Этап 10

Пусть $u = \sec (t)$ . Тогда $d u = \sec (t) \tan (t) d t$ , следовательно $\frac{1}{\sec (t) \tan (t)} d u = d t$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Пусть $u = \sec (t)$ . Найдем $\frac{d u}{d t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Дифференцируем $\sec (t)$ .

$\frac{d}{d t} [\sec (t)]$

Этап 10.1.2

Производная $\sec (t)$ по $t$ равна $\sec (t) \tan (t)$ .

$\sec (t) \tan (t)$

Этап 10.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int - 1 + u^{2} d u$

Этап 11

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int - 1 d u + \int u^{2} d u$

Этап 12

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$- u + C + \int u^{2} d u$

Этап 13

По правилу степени интеграл $u^{2}$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$- u + C + \frac{1}{3} u^{3} + C$

Этап 14

Упростим.

$- u + \frac{1}{3} u^{3} + C$

Этап 15

Выполним обратную подстановку для каждой подставленной переменной интегрирования.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Заменим все вхождения $u$ на $\sec (t)$ .

$- \sec (t) + \frac{1}{3} \sec^{3} (t) + C$

Этап 15.2

Заменим все вхождения $t$ на $\arctan (x)$ .

$- \sec (\arctan (x)) + \frac{1}{3} \sec^{3} (\arctan (x)) + C$

Этап 16

Ответ ― первообразная функции $f (x) = \frac{x^{3}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$ .

$F (x) =$ $- \sec (\arctan (x)) + \frac{1}{3} \sec^{3} (\arctan (x)) + C$