Математический анализ Примеры

$\frac{1}{2} \sec^{2} (x)$

Этап 1

Поскольку $\frac{1}{2}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{1}{2} \sec^{2} (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = \sec (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\sec (x)$ .

$\frac{1}{2} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{1}{2} (2 u \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u$ на $\sec (x)$ .

$\frac{1}{2} (2 \sec (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

Этап 3

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим $2$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{2} (\sec (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

Этап 3.2

Объединим $\sec (x)$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\sec (x) \cdot 2}{2} \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Этап 3.3

Перенесем $2$ влево от $\sec (x)$ .

$\frac{2 \cdot \sec (x)}{2} \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Этап 3.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \sec (x)}{2} \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Этап 3.4.2

Разделим $\sec (x)$ на $1$ .

$\sec (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Этап 4

Производная $\sec (x)$ по $x$ равна $\sec (x) \tan (x)$ .

$\sec (x) (\sec (x) \tan (x))$

Этап 5

Возведем $\sec (x)$ в степень $1$ .

$\sec^{1} (x) \sec (x) \tan (x)$

Этап 6

Возведем $\sec (x)$ в степень $1$ .

$\sec^{1} (x) \sec^{1} (x) \tan (x)$

Этап 7

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

${\sec (x)}^{1 + 1} \tan (x)$

Этап 8

Добавим $1$ и $1$ .

$\sec^{2} (x) \tan (x)$