Математический анализ Примеры

$\int \frac{1 - x}{x^{2}} d x$

Этап 1

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем $x^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\int (1 - x) {(x^{2})}^{- 1} d x$

Этап 1.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (1 - x) x^{2 \cdot - 1} d x$

Этап 1.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\int (1 - x) x^{- 2} d x$

Этап 2

Умножим $(1 - x) x^{- 2}$ .

$\int 1 x^{- 2} - x \cdot x^{- 2} d x$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим $x^{- 2}$ на $1$ .

$\int x^{- 2} - x \cdot x^{- 2} d x$

Этап 3.2

Умножим $x$ на $x^{- 2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Перенесем $x^{- 2}$ .

$\int x^{- 2} - (x^{- 2} x) d x$

Этап 3.2.2

Умножим $x^{- 2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\int x^{- 2} - (x^{- 2} x^{1}) d x$

Этап 3.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int x^{- 2} - x^{- 2 + 1} d x$

Этап 3.2.3

Добавим $- 2$ и $1$ .

$\int x^{- 2} - x^{- 1} d x$

Этап 4

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int x^{- 2} d x + \int - x^{- 1} d x$

Этап 5

По правилу степени интеграл $x^{- 2}$ по $x$ имеет вид $- x^{- 1}$ .

$- x^{- 1} + C + \int - x^{- 1} d x$

Этап 6

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- x^{- 1} + C - \int x^{- 1} d x$

Этап 7

Интеграл $x^{- 1}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$- x^{- 1} + C - (\ln (| x |) + C)$

Этап 8

Упростим.

$- \frac{1}{x} - \ln (| x |) + C$