Математический анализ Примеры

$x^{3} \cdot e^{x}$

Этап 1

Запишем $x^{3} \cdot e^{x}$ в виде функции.

$f (x) = x^{3} \cdot e^{x}$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int x^{3} \cdot e^{x} d x$

Этап 4

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = x^{3}$ и $d v = e^{x}$ .

$x^{3} e^{x} - \int e^{x} (3 x^{2}) d x$

Этап 5

Поскольку $3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$x^{3} e^{x} - (3 \int e^{x} (x^{2}) d x)$

Этап 6

Умножим $3$ на $- 1$ .

$x^{3} e^{x} - 3 \int e^{x} (x^{2}) d x$

Этап 7

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = x^{2}$ и $d v = e^{x}$ .

$x^{3} e^{x} - 3 (x^{2} e^{x} - \int e^{x} (2 x) d x)$

Этап 8

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$x^{3} e^{x} - 3 (x^{2} e^{x} - (2 \int e^{x} (x) d x))$

Этап 9

Умножим $2$ на $- 1$ .

$x^{3} e^{x} - 3 (x^{2} e^{x} - 2 \int e^{x} (x) d x)$

Этап 10

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = x$ и $d v = e^{x}$ .

$x^{3} e^{x} - 3 (x^{2} e^{x} - 2 (x e^{x} - \int e^{x} d x))$

Этап 11

Интеграл $e^{x}$ по $x$ имеет вид $e^{x}$ .

$x^{3} e^{x} - 3 (x^{2} e^{x} - 2 (x e^{x} - (e^{x} + C)))$

Этап 12

Перепишем $x^{3} e^{x} - 3 (x^{2} e^{x} - 2 (x e^{x} - (e^{x} + C)))$ в виде $x^{3} e^{x} - 3 (x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}) + C$ .

$x^{3} e^{x} - 3 (x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}) + C$

Этап 13

Ответ ― первообразная функции $f (x) = x^{3} \cdot e^{x}$ .

$F (x) =$ $x^{3} e^{x} - 3 (x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}) + C$