Математический анализ Примеры

$f (x) = - x^{2} + \frac{2}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{- 3}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $- x^{2} + \frac{2}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{- 3}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{- 3}]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{- 3}]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{2}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{- 3}]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- (2 x) + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{- 3}]$

Этап 1.2.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- 2 x + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{- 3}]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $\frac{2}{3}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{2}{3} x^{3}$ по $x$ равна $\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 2 x + \frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{- 3}]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$- 2 x + \frac{2}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{- 3}]$

Этап 1.3.3

Объединим $3$ и $\frac{2}{3}$ .

$- 2 x + \frac{3 \cdot 2}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{- 3}]$

Этап 1.3.4

Умножим $3$ на $2$ .

$- 2 x + \frac{6}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{- 3}]$

Этап 1.3.5

Объединим $\frac{6}{3}$ и $x^{2}$ .

$- 2 x + \frac{6 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{- 3}]$

Этап 1.3.6

Сократим общий множитель $6$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.6.1

Вынесем множитель $3$ из $6 x^{2}$ .

$- 2 x + \frac{3 (2 x^{2})}{3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{- 3}]$

Этап 1.3.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.6.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$- 2 x + \frac{3 (2 x^{2})}{3 (1)} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{- 3}]$

Этап 1.3.6.2.2

Сократим общий множитель.

$- 2 x + \frac{3 (2 x^{2})}{3 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{- 3}]$

Этап 1.3.6.2.3

Перепишем это выражение.

$- 2 x + \frac{2 x^{2}}{1} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{- 3}]$

Этап 1.3.6.2.4

Разделим $2 x^{2}$ на $1$ .

$- 2 x + 2 x^{2} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{- 3}]$

Этап 1.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{- 3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Поскольку $\frac{1}{2}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{1}{2} x^{- 3}$ по $x$ равна $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$ .

$- 2 x + 2 x^{2} + \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$

Этап 1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 3$ .

$- 2 x + 2 x^{2} + \frac{1}{2} (- 3 x^{- 4})$

Этап 1.4.3

Объединим $- 3$ и $\frac{1}{2}$ .

$- 2 x + 2 x^{2} + \frac{- 3}{2} x^{- 4}$

Этап 1.4.4

Объединим $\frac{- 3}{2}$ и $x^{- 4}$ .

$- 2 x + 2 x^{2} + \frac{- 3 x^{- 4}}{2}$

Этап 1.4.5

Перенесем $x^{- 4}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 x + 2 x^{2} + \frac{- 3}{2 x^{4}}$

Этап 1.4.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- 2 x + 2 x^{2} - \frac{3}{2 x^{4}}$

Этап 1.5

Изменим порядок членов.

$f' (x) = 2 x^{2} - 2 x - \frac{3}{2 x^{4}}$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $2 x^{2} - 2 x - \frac{3}{2 x^{4}}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2 x^{4}}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2 x^{4}}]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x^{2}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2 x^{4}}]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2 x^{4}}]$

Этап 2.2.3

Умножим $2$ на $2$ .

$4 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2 x^{4}}]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2 x^{4}}]$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$4 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2 x^{4}}]$

Этап 2.3.3

Умножим $- 2$ на $1$ .

$4 x - 2 + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2 x^{4}}]$

Этап 2.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \frac{3}{2 x^{4}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Поскольку $- \frac{3}{2}$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{3}{2 x^{4}}$ по $x$ равна $- \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$ .

$4 x - 2 - \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

Этап 2.4.2

Перепишем $\frac{1}{x^{4}}$ в виде ${(x^{4})}^{- 1}$ .

$4 x - 2 - \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [{(x^{4})}^{- 1}]$

Этап 2.4.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{- 1}$ и $g (x) = x^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{4}$ .

$4 x - 2 - \frac{3}{2} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Этап 2.4.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$4 x - 2 - \frac{3}{2} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Этап 2.4.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{4}$ .

$4 x - 2 - \frac{3}{2} (- {(x^{4})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Этап 2.4.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$4 x - 2 - \frac{3}{2} (- {(x^{4})}^{- 2} (4 x^{3}))$

Этап 2.4.5

Перемножим экспоненты в ${(x^{4})}^{- 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.5.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 x - 2 - \frac{3}{2} (- x^{4 \cdot - 2} (4 x^{3}))$

Этап 2.4.5.2

Умножим $4$ на $- 2$ .

$4 x - 2 - \frac{3}{2} (- x^{- 8} (4 x^{3}))$

Этап 2.4.6

Умножим $4$ на $- 1$ .

$4 x - 2 - \frac{3}{2} (- 4 x^{- 8} x^{3})$

Этап 2.4.7

Умножим $x^{- 8}$ на $x^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.7.1

Перенесем $x^{3}$ .

$4 x - 2 - \frac{3}{2} (- 4 (x^{3} x^{- 8}))$

Этап 2.4.7.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$4 x - 2 - \frac{3}{2} (- 4 x^{3 - 8})$

Этап 2.4.7.3

Вычтем $8$ из $3$ .

$4 x - 2 - \frac{3}{2} (- 4 x^{- 5})$

Этап 2.4.8

Умножим $- 4$ на $- 1$ .

$4 x - 2 + 4 (\frac{3}{2}) x^{- 5}$

Этап 2.4.9

Объединим $4$ и $\frac{3}{2}$ .

$4 x - 2 + \frac{4 \cdot 3}{2} x^{- 5}$

Этап 2.4.10

Умножим $4$ на $3$ .

$4 x - 2 + \frac{12}{2} x^{- 5}$

Этап 2.4.11

Объединим $\frac{12}{2}$ и $x^{- 5}$ .

$4 x - 2 + \frac{12 x^{- 5}}{2}$

Этап 2.4.12

Перенесем $x^{- 5}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 x - 2 + \frac{12}{2 x^{5}}$

Этап 2.4.13

Сократим общий множитель $12$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.13.1

Вынесем множитель $2$ из $12$ .

$4 x - 2 + \frac{2 \cdot 6}{2 x^{5}}$

Этап 2.4.13.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.13.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{5}$ .

$4 x - 2 + \frac{2 \cdot 6}{2 (x^{5})}$

Этап 2.4.13.2.2

Сократим общий множитель.

$4 x - 2 + \frac{2 \cdot 6}{2 x^{5}}$

Этап 2.4.13.2.3

Перепишем это выражение.

$4 x - 2 + \frac{6}{x^{5}}$

Этап 2.5

Изменим порядок членов.

$f'' (x) = 4 x + \frac{6}{x^{5}} - 2$

Этап 3

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $4 x + \frac{6}{x^{5}} - 2$ .

$4 x + \frac{6}{x^{5}} - 2$