Математический анализ Примеры

$- x^{2} - 12 x + 3 y^{2} - 24 y = 0$

Этап 1

Найдем стандартную форму уравнения гиперболы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Составим полный квадрат для $- x^{2} - 12 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = - 1$

$b = - 12$

$c = 0$

Этап 1.1.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 1.1.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 12}{2 \cdot - 1}$

Этап 1.1.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.2.1

Сократим общий множитель $- 12$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 12$ .

$d = \frac{2 \cdot - 6}{2 \cdot - 1}$

Этап 1.1.3.2.1.2

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{- 6}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot - 6$

Этап 1.1.3.2.2

Перепишем $- 1 \cdot - 6$ в виде $- - 6$ .

$d = - - 6$

Этап 1.1.3.2.3

Умножим $- 1$ на $- 6$ .

$d = 6$

Этап 1.1.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 12)}^{2}}{4 \cdot - 1}$

Этап 1.1.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.2.1.1

Возведем $- 12$ в степень $2$ .

$e = 0 - \frac{144}{4 \cdot - 1}$

Этап 1.1.4.2.1.2

Умножим $4$ на $- 1$ .

$e = 0 - \frac{144}{- 4}$

Этап 1.1.4.2.1.3

Разделим $144$ на $- 4$ .

$e = 0 - - 36$

Этап 1.1.4.2.1.4

Умножим $- 1$ на $- 36$ .

$e = 0 + 36$

Этап 1.1.4.2.2

Добавим $0$ и $36$ .

$e = 36$

Этап 1.1.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной $- {(x + 6)}^{2} + 36$ .

$- {(x + 6)}^{2} + 36$

Этап 1.2

Подставим $- {(x + 6)}^{2} + 36$ вместо $- x^{2} - 12 x$ в уравнение $- x^{2} - 12 x + 3 y^{2} - 24 y = 0$ .

$- {(x + 6)}^{2} + 36 + 3 y^{2} - 24 y = 0$

Этап 1.3

Перенесем $36$ в правую часть уравнения, прибавив $36$ к обеим частям.

$- {(x + 6)}^{2} + 3 y^{2} - 24 y = 0 - 36$

Этап 1.4

Составим полный квадрат для $3 y^{2} - 24 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = 3$

$b = - 24$

$c = 0$

Этап 1.4.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 1.4.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 24}{2 \cdot 3}$

Этап 1.4.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.2.1

Сократим общий множитель $- 24$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 24$ .

$d = \frac{2 \cdot - 12}{2 \cdot 3}$

Этап 1.4.3.2.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.2.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot 3$ .

$d = \frac{2 \cdot - 12}{2 (3)}$

Этап 1.4.3.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2 \cdot - 12}{2 \cdot 3}$

Этап 1.4.3.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{- 12}{3}$

Этап 1.4.3.2.2

Сократим общий множитель $- 12$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.2.2.1

Вынесем множитель $3$ из $- 12$ .

$d = \frac{3 \cdot - 4}{3}$

Этап 1.4.3.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.2.2.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$d = \frac{3 \cdot - 4}{3 (1)}$

Этап 1.4.3.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{3 \cdot - 4}{3 \cdot 1}$

Этап 1.4.3.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{- 4}{1}$

Этап 1.4.3.2.2.2.4

Разделим $- 4$ на $1$ .

$d = - 4$

Этап 1.4.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 24)}^{2}}{4 \cdot 3}$

Этап 1.4.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.4.2.1.1

Возведем $- 24$ в степень $2$ .

$e = 0 - \frac{576}{4 \cdot 3}$

Этап 1.4.4.2.1.2

Умножим $4$ на $3$ .

$e = 0 - \frac{576}{12}$

Этап 1.4.4.2.1.3

Разделим $576$ на $12$ .

$e = 0 - 1 \cdot 48$

Этап 1.4.4.2.1.4

Умножим $- 1$ на $48$ .

$e = 0 - 48$

Этап 1.4.4.2.2

Вычтем $48$ из $0$ .

$e = - 48$

Этап 1.4.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной $3 {(y - 4)}^{2} - 48$ .

$3 {(y - 4)}^{2} - 48$

Этап 1.5

Подставим $3 {(y - 4)}^{2} - 48$ вместо $3 y^{2} - 24 y$ в уравнение $- x^{2} - 12 x + 3 y^{2} - 24 y = 0$ .

$- {(x + 6)}^{2} + 3 {(y - 4)}^{2} - 48 = 0 - 36$

Этап 1.6

Перенесем $- 48$ в правую часть уравнения, прибавив $48$ к обеим частям.

$- {(x + 6)}^{2} + 3 {(y - 4)}^{2} = 0 - 36 + 48$

Этап 1.7

Упростим $0 - 36 + 48$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Вычтем $36$ из $0$ .

$- {(x + 6)}^{2} + 3 {(y - 4)}^{2} = - 36 + 48$

Этап 1.7.2

Добавим $- 36$ и $48$ .

$- {(x + 6)}^{2} + 3 {(y - 4)}^{2} = 12$

Этап 1.8

Разделим каждый член на $12$ , чтобы правая часть была равна единице.

$- \frac{{(x + 6)}^{2}}{12} + \frac{3 {(y - 4)}^{2}}{12} = \frac{12}{12}$

Этап 1.9

Упростим каждый член уравнения, чтобы правая часть была равна $1$ . Стандартная форма уравнения эллипса или гиперболы требует, чтобы правая часть уравнения была равна $1$ .

$\frac{{(y - 4)}^{2}}{4} - \frac{{(x + 6)}^{2}}{12} = 1$

Этап 2

Это формула гиперболы. Используем эту формулу для определения вершин и асимптот гиперболы.

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Этап 3

Сопоставим параметры гиперболы со значениями в стандартной форме. Переменная $h$ представляет сдвиг по оси X от начала координат, $k$ — сдвиг по оси Y от начала координат, $a$ .

$a = 2$

$b = 2 \sqrt{3}$

$k = 4$

$h = - 6$

Этап 4

Центр гиперболы имеет вид $(h, k)$ . Подставим значения $h$ и $k$ .

$(- 6, 4)$

Этап 5

Найдем $c$ , расстояние от центра до фокуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем расстояние от центра до фокуса гиперболы, используя следующую формулу.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Этап 5.2

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу.

$\sqrt{{(2)}^{2} + {(2 \sqrt{3})}^{2}}$

Этап 5.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\sqrt{4 + {(2 \sqrt{3})}^{2}}$

Этап 5.3.1.2

Применим правило умножения к $2 \sqrt{3}$ .

$\sqrt{4 + 2^{2} {\sqrt{3}}^{2}}$

Этап 5.3.1.3

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\sqrt{4 + 4 {\sqrt{3}}^{2}}$

Этап 5.3.2

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{4 + 4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 5.3.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{4 + 4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 5.3.2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\sqrt{4 + 4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 5.3.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.4.1

Сократим общий множитель.

$\sqrt{4 + 4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 5.3.2.4.2

Перепишем это выражение.

$\sqrt{4 + 4 \cdot 3^{1}}$

Этап 5.3.2.5

Найдем экспоненту.

$\sqrt{4 + 4 \cdot 3}$

Этап 5.3.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Умножим $4$ на $3$ .

$\sqrt{4 + 12}$

Этап 5.3.3.2

Добавим $4$ и $12$ .

$\sqrt{16}$

Этап 5.3.3.3

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$\sqrt{4^{2}}$

Этап 5.3.3.4

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$4$

Этап 6

Найдем вершины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Первую вершину гиперболы можно найти, добавив $a$ к $k$ .

$(h, k + a)$

Этап 6.2

Подставим известные значения $h$ , $a$ и $k$ в формулу и упростим.

$(- 6, 6)$

Этап 6.3

Вторую вершину гиперболы можно найти, вычтя $a$ из $k$ .

$(h, k - a)$

Этап 6.4

Подставим известные значения $h$ , $a$ и $k$ в формулу и упростим.

$(- 6, 2)$

Этап 6.5

Вершины гиперболы имеют вид $(h, k \pm a)$ . Гиперболы имеют две вершины.

$(- 6, 6), (- 6, 2)$

Этап 7

Найдем фокусы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Первый фокус гиперболы можно найти, добавив $c$ к $k$ .

$(h, k + c)$

Этап 7.2

Подставим известные значения $h$ , $c$ и $k$ в формулу и упростим.

$(- 6, 8)$

Этап 7.3

Второй фокус гиперболы можно найти, вычтя $c$ из $k$ .

$(h, k - c)$

Этап 7.4

Подставим известные значения $h$ , $c$ и $k$ в формулу и упростим.

$(- 6, 0)$

Этап 7.5

Фокусы гиперболы имеют вид $(h, k \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}})$ . Гиперболы имеют два фокуса.

$(- 6, 8), (- 6, 0)$

Этап 8

Найдем эксцентриситет.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Найдем эксцентриситет по приведенной ниже формуле.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Этап 8.2

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу.

$\frac{\sqrt{{(2)}^{2} + {(2 \sqrt{3})}^{2}}}{2}$

Этап 8.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{\sqrt{4 + {(2 \sqrt{3})}^{2}}}{2}$

Этап 8.3.1.2

Применим правило умножения к $2 \sqrt{3}$ .

$\frac{\sqrt{4 + 2^{2} {\sqrt{3}}^{2}}}{2}$

Этап 8.3.1.3

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{\sqrt{4 + 4 {\sqrt{3}}^{2}}}{2}$

Этап 8.3.1.4

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{4 + 4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{2}$

Этап 8.3.1.4.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{4 + 4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{2}$

Этап 8.3.1.4.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{\sqrt{4 + 4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}}{2}$

Этап 8.3.1.4.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.4.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt{4 + 4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}}{2}$

Этап 8.3.1.4.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\sqrt{4 + 4 \cdot 3^{1}}}{2}$

Этап 8.3.1.4.5

Найдем экспоненту.

$\frac{\sqrt{4 + 4 \cdot 3}}{2}$

Этап 8.3.1.5

Умножим $4$ на $3$ .

$\frac{\sqrt{4 + 12}}{2}$

Этап 8.3.1.6

Добавим $4$ и $12$ .

$\frac{\sqrt{16}}{2}$

Этап 8.3.1.7

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$\frac{\sqrt{4^{2}}}{2}$

Этап 8.3.1.8

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{4}{2}$

Этап 8.3.2

Разделим $4$ на $2$ .

$2$

Этап 9

Найдем фокальный параметр.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Найдем значение фокального параметра гиперболы по следующей формуле.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Этап 9.2

Подставим значения $b$ и $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ в формулу.

$\frac{2 {\sqrt{3}}^{2}}{4}$

Этап 9.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Сократим общий множитель $2$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1.1

Вынесем множитель $2$ из $2 {\sqrt{3}}^{2}$ .

$\frac{2 ({\sqrt{3}}^{2})}{4}$

Этап 9.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{2 {\sqrt{3}}^{2}}{2 \cdot 2}$

Этап 9.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 {\sqrt{3}}^{2}}{2 \cdot 2}$

Этап 9.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2}$

Этап 9.3.2

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2}$

Этап 9.3.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2}$

Этап 9.3.2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{3^{\frac{2}{2}}}{2}$

Этап 9.3.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.2.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3^{\frac{2}{2}}}{2}$

Этап 9.3.2.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{3^{1}}{2}$

Этап 9.3.2.5

Найдем экспоненту.

$\frac{3}{2}$

Этап 10

Асимптоты имеют вид $y = \pm \frac{a (x - h)}{b} + k$ , так как ветви этой гиперболы направлены вверх и вниз.

$y = \pm \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot (x - (- 6)) + 4$

Этап 11

Упростим, чтобы найти первую асимптоту.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Избавимся от скобок.

$y = \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot (x - (- 6)) + 4$

Этап 11.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Умножим $- 1$ на $- 6$ .

$y = \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot (x + 6) + 4$

Этап 11.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{\sqrt{3}}{3} x + \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 6 + 4$

Этап 11.2.3

Объединим $\frac{\sqrt{3}}{3}$ и $x$ .

$y = \frac{\sqrt{3} x}{3} + \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 6 + 4$

Этап 11.2.4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.4.1

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$y = \frac{\sqrt{3} x}{3} + \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot (3 (2)) + 4$

Этап 11.2.4.2

Сократим общий множитель.

$y = \frac{\sqrt{3} x}{3} + \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot (3 \cdot 2) + 4$

Этап 11.2.4.3

Перепишем это выражение.

$y = \frac{\sqrt{3} x}{3} + \sqrt{3} \cdot 2 + 4$

Этап 11.2.5

Перенесем $2$ влево от $\sqrt{3}$ .

$y = \frac{\sqrt{3} x}{3} + 2 \sqrt{3} + 4$

Этап 12

Упростим, чтобы найти вторую асимптоту.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Избавимся от скобок.

$y = - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot (x - (- 6)) + 4$

Этап 12.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Умножим $- 1$ на $- 6$ .

$y = - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot (x + 6) + 4$

Этап 12.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y = - \frac{\sqrt{3}}{3} x - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 6 + 4$

Этап 12.2.3

Объединим $x$ и $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$y = - \frac{x \sqrt{3}}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 6 + 4$

Этап 12.2.4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.4.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ в числитель.

$y = - \frac{x \sqrt{3}}{3} + \frac{- \sqrt{3}}{3} \cdot 6 + 4$

Этап 12.2.4.2

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$y = - \frac{x \sqrt{3}}{3} + \frac{- \sqrt{3}}{3} \cdot (3 (2)) + 4$

Этап 12.2.4.3

Сократим общий множитель.

$y = - \frac{x \sqrt{3}}{3} + \frac{- \sqrt{3}}{3} \cdot (3 \cdot 2) + 4$

Этап 12.2.4.4

Перепишем это выражение.

$y = - \frac{x \sqrt{3}}{3} - \sqrt{3} \cdot 2 + 4$

Этап 12.2.5

Умножим $2$ на $- 1$ .

$y = - \frac{x \sqrt{3}}{3} - 2 \sqrt{3} + 4$

Этап 13

Эта гипербола имеет две асимптоты.

$y = \frac{\sqrt{3} x}{3} + 2 \sqrt{3} + 4, y = - \frac{x \sqrt{3}}{3} - 2 \sqrt{3} + 4$

Этап 14

Эти значения представляются важными для построения графика и анализа гиперболы.

Центр: $(- 6, 4)$

Вершины: $(- 6, 6), (- 6, 2)$

Фокусы: $(- 6, 8), (- 6, 0)$

Эксцентриситет: $2$

Фокальный параметр: $\frac{3}{2}$

Асимптоты: $y = \frac{\sqrt{3} x}{3} + 2 \sqrt{3} + 4$ , $y = - \frac{x \sqrt{3}}{3} - 2 \sqrt{3} + 4$

Этап 15