Математический анализ Примеры

$\int_{e^{49}}^{e^{64}} \frac{1}{x \sqrt{\ln (x)}} d x$

Этап 1

Пусть $u = \ln (x)$ . Тогда $d u = \frac{1}{x} d x$ , следовательно $x d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = \ln (x)$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Этап 1.1.2

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

Этап 1.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = \ln (x)$ .

$u_{lower} = \ln (e^{49})$

Этап 1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Используем основные свойства логарифмов, чтобы вынести $49$ из степени.

$u_{lower} = 49 \ln (e)$

Этап 1.3.2

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$u_{lower} = 49 \cdot 1$

Этап 1.3.3

Умножим $49$ на $1$ .

$u_{lower} = 49$

Этап 1.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = \ln (x)$ .

$u_{upper} = \ln (e^{64})$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Используем основные свойства логарифмов, чтобы вынести $64$ из степени.

$u_{upper} = 64 \ln (e)$

Этап 1.5.2

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$u_{upper} = 64 \cdot 1$

Этап 1.5.3

Умножим $64$ на $1$ .

$u_{upper} = 64$

Этап 1.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 49$

$u_{upper} = 64$

Этап 1.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$\int_{49}^{64} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Этап 2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{u}$ в виде $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{49}^{64} \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Этап 2.2

Вынесем $u^{\frac{1}{2}}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\int_{49}^{64} {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Этап 2.3

Перемножим экспоненты в ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{49}^{64} u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Этап 2.3.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 1$ .

$\int_{49}^{64} u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Этап 2.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\int_{49}^{64} u^{- \frac{1}{2}} d u$

Этап 3

По правилу степени интеграл $u^{- \frac{1}{2}}$ по $u$ имеет вид $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$2 u^{\frac{1}{2}}]_{49}^{64}$

Этап 4

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем значение $2 u^{\frac{1}{2}}$ в $64$ и в $49$ .

$(2 \cdot 64^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 49^{\frac{1}{2}}$

Этап 4.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Перепишем $64$ в виде $8^{2}$ .

$2 \cdot {(8^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 49^{\frac{1}{2}}$

Этап 4.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \cdot 8^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 49^{\frac{1}{2}}$

Этап 4.2.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Сократим общий множитель.

$2 \cdot 8^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 49^{\frac{1}{2}}$

Этап 4.2.3.2

Перепишем это выражение.

$2 \cdot 8^{1} - 2 \cdot 49^{\frac{1}{2}}$

Этап 4.2.4

Найдем экспоненту.

$2 \cdot 8 - 2 \cdot 49^{\frac{1}{2}}$

Этап 4.2.5

Умножим $2$ на $8$ .

$16 - 2 \cdot 49^{\frac{1}{2}}$

Этап 4.2.6

Перепишем $49$ в виде $7^{2}$ .

$16 - 2 \cdot {(7^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Этап 4.2.7

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$16 - 2 \cdot 7^{2 (\frac{1}{2})}$

Этап 4.2.8

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.8.1

Сократим общий множитель.

$16 - 2 \cdot 7^{2 (\frac{1}{2})}$

Этап 4.2.8.2

Перепишем это выражение.

$16 - 2 \cdot 7^{1}$

Этап 4.2.9

Найдем экспоненту.

$16 - 2 \cdot 7$

Этап 4.2.10

Умножим $- 2$ на $7$ .

$16 - 14$

Этап 4.2.11

Вычтем $14$ из $16$ .

$2$