Математический анализ Примеры

${(x^{3} + 3 y)}^{6} = x$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} ({(x^{3} + 3 y)}^{6}) = \frac{d}{d x} (x)$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{6}$ и $g (x) = x^{3} + 3 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{3} + 3 y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{6}] \frac{d}{d x} [x^{3} + 3 y]$

Этап 2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 6$ .

$6 u^{5} \frac{d}{d x} [x^{3} + 3 y]$

Этап 2.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{3} + 3 y$ .

$6 {(x^{3} + 3 y)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{3} + 3 y]$

Этап 2.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

По правилу суммы производная $x^{3} + 3 y$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y]$ .

$6 {(x^{3} + 3 y)}^{5} (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y])$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$6 {(x^{3} + 3 y)}^{5} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 y])$

Этап 2.2.3

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 y$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [y]$ .

$6 {(x^{3} + 3 y)}^{5} (3 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [y])$

Этап 2.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$6 {(x^{3} + 3 y)}^{5} (3 x^{2} + 3 y')$

Этап 3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$6 {(x^{3} + 3 y)}^{5} (3 x^{2} + 3 y') = 1$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Разделим каждый член $6 {(x^{3} + 3 y)}^{5} (3 x^{2} + 3 y') = 1$ на $6 {(x^{3} + 3 y)}^{5}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Разделим каждый член $6 {(x^{3} + 3 y)}^{5} (3 x^{2} + 3 y') = 1$ на $6 {(x^{3} + 3 y)}^{5}$ .

$\frac{6 {(x^{3} + 3 y)}^{5} (3 x^{2} + 3 y')}{6 {(x^{3} + 3 y)}^{5}} = \frac{1}{6 {(x^{3} + 3 y)}^{5}}$

Этап 5.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1

Сократим общий множитель $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{6 {(x^{3} + 3 y)}^{5} (3 x^{2} + 3 y')}{6 {(x^{3} + 3 y)}^{5}} = \frac{1}{6 {(x^{3} + 3 y)}^{5}}$

Этап 5.1.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{{(x^{3} + 3 y)}^{5} (3 x^{2} + 3 y')}{{(x^{3} + 3 y)}^{5}} = \frac{1}{6 {(x^{3} + 3 y)}^{5}}$

Этап 5.1.2.2

Сократим общий множитель ${(x^{3} + 3 y)}^{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{{(x^{3} + 3 y)}^{5} (3 x^{2} + 3 y')}{{(x^{3} + 3 y)}^{5}} = \frac{1}{6 {(x^{3} + 3 y)}^{5}}$

Этап 5.1.2.2.2

Разделим $3 x^{2} + 3 y'$ на $1$ .

$3 x^{2} + 3 y' = \frac{1}{6 {(x^{3} + 3 y)}^{5}}$

Этап 5.2

Вычтем $3 x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$3 y' = \frac{1}{6 {(x^{3} + 3 y)}^{5}} - 3 x^{2}$

Этап 5.3

Разделим каждый член $3 y' = \frac{1}{6 {(x^{3} + 3 y)}^{5}} - 3 x^{2}$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Разделим каждый член $3 y' = \frac{1}{6 {(x^{3} + 3 y)}^{5}} - 3 x^{2}$ на $3$ .

$\frac{3 y'}{3} = \frac{\frac{1}{6 {(x^{3} + 3 y)}^{5}}}{3} + \frac{- 3 x^{2}}{3}$

Этап 5.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 y'}{3} = \frac{\frac{1}{6 {(x^{3} + 3 y)}^{5}}}{3} + \frac{- 3 x^{2}}{3}$

Этап 5.3.2.1.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{\frac{1}{6 {(x^{3} + 3 y)}^{5}}}{3} + \frac{- 3 x^{2}}{3}$

Этап 5.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$y' = \frac{\frac{1}{6 {(x^{3} + 3 y)}^{5}} - 3 x^{2}}{3}$

Этап 5.3.3.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.1

Чтобы записать $- 3 x^{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{6 {(x^{3} + 3 y)}^{5}}{6 {(x^{3} + 3 y)}^{5}}$ .

$y' = \frac{\frac{1}{6 {(x^{3} + 3 y)}^{5}} - 3 x^{2} \cdot \frac{6 {(x^{3} + 3 y)}^{5}}{6 {(x^{3} + 3 y)}^{5}}}{3}$

Этап 5.3.3.2.2

Объединим $- 3 x^{2}$ и $\frac{6 {(x^{3} + 3 y)}^{5}}{6 {(x^{3} + 3 y)}^{5}}$ .

$y' = \frac{\frac{1}{6 {(x^{3} + 3 y)}^{5}} + \frac{- 3 x^{2} (6 {(x^{3} + 3 y)}^{5})}{6 {(x^{3} + 3 y)}^{5}}}{3}$

Этап 5.3.3.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$y' = \frac{\frac{1 - 3 x^{2} (6 {(x^{3} + 3 y)}^{5})}{6 {(x^{3} + 3 y)}^{5}}}{3}$

Этап 5.3.3.2.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.4.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$y' = \frac{\frac{1 - 3 \cdot 6 x^{2} {(x^{3} + 3 y)}^{5}}{6 {(x^{3} + 3 y)}^{5}}}{3}$

Этап 5.3.3.2.4.2

Умножим $- 3$ на $6$ .

$y' = \frac{\frac{1 - 18 x^{2} {(x^{3} + 3 y)}^{5}}{6 {(x^{3} + 3 y)}^{5}}}{3}$

Этап 5.3.3.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$y' = \frac{1 - 18 x^{2} {(x^{3} + 3 y)}^{5}}{6 {(x^{3} + 3 y)}^{5}} \cdot \frac{1}{3}$

Этап 5.3.3.4

Умножим $\frac{1 - 18 x^{2} {(x^{3} + 3 y)}^{5}}{6 {(x^{3} + 3 y)}^{5}} \cdot \frac{1}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.4.1

Умножим $\frac{1 - 18 x^{2} {(x^{3} + 3 y)}^{5}}{6 {(x^{3} + 3 y)}^{5}}$ на $\frac{1}{3}$ .

$y' = \frac{1 - 18 x^{2} {(x^{3} + 3 y)}^{5}}{6 {(x^{3} + 3 y)}^{5} \cdot 3}$

Этап 5.3.3.4.2

Умножим $3$ на $6$ .

$y' = \frac{1 - 18 x^{2} {(x^{3} + 3 y)}^{5}}{18 {(x^{3} + 3 y)}^{5}}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 - 18 x^{2} {(x^{3} + 3 y)}^{5}}{18 {(x^{3} + 3 y)}^{5}}$