Математический анализ Примеры

$y^{2} - 4 x y + \arctan (x) = 4$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y^{2} - 4 x y + \arctan (x)) = \frac{d}{d x} (4)$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $y^{2} - 4 x y + \arctan (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x y] + \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x y] + \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 4 x y] + \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$

Этап 2.2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 4 x y] + \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$

Этап 2.2.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $y$ .

$2 y \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 4 x y] + \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$

Этап 2.2.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$2 y y' + \frac{d}{d x} [- 4 x y] + \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 4 x y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4 x y$ по $x$ равна $- 4 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$2 y y' - 4 \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = y$ .

$2 y y' - 4 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$

Этап 2.3.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$2 y y' - 4 (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$

Этап 2.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 y y' - 4 (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$

Этап 2.3.5

Умножим $y$ на $1$ .

$2 y y' - 4 (x y' + y) + \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$

Этап 2.4

Производная $\arctan (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$2 y y' - 4 (x y' + y) + \frac{1}{1 + x^{2}}$

Этап 2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 y y' - 4 (x y') - 4 y + \frac{1}{1 + x^{2}}$

Этап 2.5.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Чтобы записать $2 y y'$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}$ .

$- 4 x y' - 4 y + \frac{2 y y' (1 + x^{2})}{1 + x^{2}} + \frac{1}{1 + x^{2}}$

Этап 2.5.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$- 4 x y' - 4 y + \frac{2 y y' (1 + x^{2}) + 1}{1 + x^{2}}$

Этап 2.5.2.3

Чтобы записать $- 4 x y'$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}$ .

$- 4 y - 4 x y' \cdot \frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}} + \frac{2 y y' (1 + x^{2}) + 1}{1 + x^{2}}$

Этап 2.5.2.4

Объединим $- 4 x y'$ и $\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}$ .

$- 4 y + \frac{- 4 x y' (1 + x^{2})}{1 + x^{2}} + \frac{2 y y' (1 + x^{2}) + 1}{1 + x^{2}}$

Этап 2.5.2.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$- 4 y + \frac{- 4 x y' (1 + x^{2}) + 2 y y' (1 + x^{2}) + 1}{1 + x^{2}}$

Этап 2.5.2.6

Чтобы записать $- 4 y$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}$ .

$- 4 y \cdot \frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}} + \frac{- 4 x y' (1 + x^{2}) + 2 y y' (1 + x^{2}) + 1}{1 + x^{2}}$

Этап 2.5.2.7

Объединим $- 4 y$ и $\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{- 4 y (1 + x^{2})}{1 + x^{2}} + \frac{- 4 x y' (1 + x^{2}) + 2 y y' (1 + x^{2}) + 1}{1 + x^{2}}$

Этап 2.5.2.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 4 y (1 + x^{2}) - 4 x y' (1 + x^{2}) + 2 y y' (1 + x^{2}) + 1}{1 + x^{2}}$

Этап 2.5.3

Изменим порядок членов.

$\frac{- 4 y (1 + x^{2}) - 4 x (1 + x^{2}) y' + 2 y (1 + x^{2}) y' + 1}{x^{2} + 1}$

Этап 3

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4$ относительно $x$ равна $0$ .

$0$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$\frac{- 4 y (1 + x^{2}) - 4 x (1 + x^{2}) y' + 2 y (1 + x^{2}) y' + 1}{x^{2} + 1} = 0$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Приравняем числитель к нулю.

$- 4 y (1 + x^{2}) - 4 x (1 + x^{2}) y' + 2 y (1 + x^{2}) y' + 1 = 0$

Этап 5.2

Решим уравнение относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- 4 y \cdot 1 - 4 y x^{2} - 4 x (1 + x^{2}) y' + 2 y (1 + x^{2}) y' + 1 = 0$

Этап 5.2.1.2

Умножим $- 4$ на $1$ .

$- 4 y - 4 y x^{2} - 4 x (1 + x^{2}) y' + 2 y (1 + x^{2}) y' + 1 = 0$

Этап 5.2.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- 4 y - 4 y x^{2} + (- 4 x \cdot 1 - 4 x \cdot x^{2}) y' + 2 y (1 + x^{2}) y' + 1 = 0$

Этап 5.2.1.4

Умножим $- 4$ на $1$ .

$- 4 y - 4 y x^{2} + (- 4 x - 4 x \cdot x^{2}) y' + 2 y (1 + x^{2}) y' + 1 = 0$

Этап 5.2.1.5

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.5.1

Перенесем $x^{2}$ .

$- 4 y - 4 y x^{2} + (- 4 x - 4 (x^{2} x)) y' + 2 y (1 + x^{2}) y' + 1 = 0$

Этап 5.2.1.5.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.5.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$- 4 y - 4 y x^{2} + (- 4 x - 4 (x^{2} x^{1})) y' + 2 y (1 + x^{2}) y' + 1 = 0$

Этап 5.2.1.5.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- 4 y - 4 y x^{2} + (- 4 x - 4 x^{2 + 1}) y' + 2 y (1 + x^{2}) y' + 1 = 0$

Этап 5.2.1.5.3

Добавим $2$ и $1$ .

$- 4 y - 4 y x^{2} + (- 4 x - 4 x^{3}) y' + 2 y (1 + x^{2}) y' + 1 = 0$

Этап 5.2.1.6

Применим свойство дистрибутивности.

$- 4 y - 4 y x^{2} - 4 x y' - 4 x^{3} y' + 2 y (1 + x^{2}) y' + 1 = 0$

Этап 5.2.1.7

Применим свойство дистрибутивности.

$- 4 y - 4 y x^{2} - 4 x y' - 4 x^{3} y' + (2 y \cdot 1 + 2 y x^{2}) y' + 1 = 0$

Этап 5.2.1.8

Умножим $2$ на $1$ .

$- 4 y - 4 y x^{2} - 4 x y' - 4 x^{3} y' + (2 y + 2 y x^{2}) y' + 1 = 0$

Этап 5.2.1.9

Применим свойство дистрибутивности.

$- 4 y - 4 y x^{2} - 4 x y' - 4 x^{3} y' + 2 y y' + 2 y x^{2} y' + 1 = 0$

Этап 5.2.2

Перенесем все члены без $y'$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Добавим $4 y$ к обеим частям уравнения.

$- 4 y x^{2} - 4 x y' - 4 x^{3} y' + 2 y y' + 2 y x^{2} y' + 1 = 4 y$

Этап 5.2.2.2

Добавим $4 y x^{2}$ к обеим частям уравнения.

$- 4 x y' - 4 x^{3} y' + 2 y y' + 2 y x^{2} y' + 1 = 4 y + 4 y x^{2}$

Этап 5.2.2.3

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- 4 x y' - 4 x^{3} y' + 2 y y' + 2 y x^{2} y' = 4 y + 4 y x^{2} - 1$

Этап 5.2.3

Вынесем множитель $2 y'$ из $- 4 x y' - 4 x^{3} y' + 2 y y' + 2 y x^{2} y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Вынесем множитель $2 y'$ из $- 4 x y'$ .

$2 y' (- 2 x) - 4 x^{3} y' + 2 y y' + 2 y x^{2} y' = 4 y + 4 y x^{2} - 1$

Этап 5.2.3.2

Вынесем множитель $2 y'$ из $- 4 x^{3} y'$ .

$2 y' (- 2 x) + 2 y' (- 2 x^{3}) + 2 y y' + 2 y x^{2} y' = 4 y + 4 y x^{2} - 1$

Этап 5.2.3.3

Вынесем множитель $2 y'$ из $2 y y'$ .

$2 y' (- 2 x) + 2 y' (- 2 x^{3}) + 2 y' y + 2 y x^{2} y' = 4 y + 4 y x^{2} - 1$

Этап 5.2.3.4

Вынесем множитель $2 y'$ из $2 y x^{2} y'$ .

$2 y' (- 2 x) + 2 y' (- 2 x^{3}) + 2 y' y + 2 y' (y x^{2}) = 4 y + 4 y x^{2} - 1$

Этап 5.2.3.5

Вынесем множитель $2 y'$ из $2 y' (- 2 x) + 2 y' (- 2 x^{3})$ .

$2 y' (- 2 x - 2 x^{3}) + 2 y' y + 2 y' (y x^{2}) = 4 y + 4 y x^{2} - 1$

Этап 5.2.3.6

Вынесем множитель $2 y'$ из $2 y' (- 2 x - 2 x^{3}) + 2 y' y$ .

$2 y' (- 2 x - 2 x^{3} + y) + 2 y' (y x^{2}) = 4 y + 4 y x^{2} - 1$

Этап 5.2.3.7

Вынесем множитель $2 y'$ из $2 y' (- 2 x - 2 x^{3} + y) + 2 y' (y x^{2})$ .

$2 y' (- 2 x - 2 x^{3} + y + y x^{2}) = 4 y + 4 y x^{2} - 1$

Этап 5.2.4

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$2 y' ((- 2 x - 2 x^{3}) + y + y x^{2}) = 4 y + 4 y x^{2} - 1$

Этап 5.2.4.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$2 y' (2 x (- 1 - x^{2}) - y (- 1 - 1 x^{2})) = 4 y + 4 y x^{2} - 1$

Этап 5.2.5

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.1

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $- 1 - x^{2}$ .

$2 y' ((- 1 - x^{2}) (2 x - y)) = 4 y + 4 y x^{2} - 1$

Этап 5.2.5.2

Избавимся от ненужных скобок.

$2 y' (- 1 - x^{2}) (2 x - y) = 4 y + 4 y x^{2} - 1$

Этап 5.2.6

Разделим каждый член $2 y' (- 1 - x^{2}) (2 x - y) = 4 y + 4 y x^{2} - 1$ на $2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.6.1

Разделим каждый член $2 y' (- 1 - x^{2}) (2 x - y) = 4 y + 4 y x^{2} - 1$ на $2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)$ .

$\frac{2 y' (- 1 - x^{2}) (2 x - y)}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)} = \frac{4 y}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)} + \frac{4 y x^{2}}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)} + \frac{- 1}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)}$

Этап 5.2.6.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.6.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.6.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 y' (- 1 - x^{2}) (2 x - y)}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)} = \frac{4 y}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)} + \frac{4 y x^{2}}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)} + \frac{- 1}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)}$

Этап 5.2.6.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y' (- 1 - x^{2}) (2 x - y)}{(- 1 - x^{2}) (2 x - y)} = \frac{4 y}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)} + \frac{4 y x^{2}}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)} + \frac{- 1}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)}$

Этап 5.2.6.2.2

Сократим общий множитель $- 1 - x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.6.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' (- 1 - x^{2}) (2 x - y)}{(- 1 - x^{2}) (2 x - y)} = \frac{4 y}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)} + \frac{4 y x^{2}}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)} + \frac{- 1}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)}$

Этап 5.2.6.2.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y' (2 x - y)}{2 x - y} = \frac{4 y}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)} + \frac{4 y x^{2}}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)} + \frac{- 1}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)}$

Этап 5.2.6.2.3

Сократим общий множитель $2 x - y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.6.2.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' (2 x - y)}{2 x - y} = \frac{4 y}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)} + \frac{4 y x^{2}}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)} + \frac{- 1}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)}$

Этап 5.2.6.2.3.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{4 y}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)} + \frac{4 y x^{2}}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)} + \frac{- 1}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)}$

Этап 5.2.6.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.6.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.6.3.1.1

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.6.3.1.1.1

Вынесем множитель $2$ из $4 y$ .

$y' = \frac{2 (2 y)}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)} + \frac{4 y x^{2}}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)} + \frac{- 1}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)}$

Этап 5.2.6.3.1.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.6.3.1.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)$ .

$y' = \frac{2 (2 y)}{2 ((- 1 - x^{2}) (2 x - y))} + \frac{4 y x^{2}}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)} + \frac{- 1}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)}$

Этап 5.2.6.3.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$y' = \frac{2 (2 y)}{2 ((- 1 - x^{2}) (2 x - y))} + \frac{4 y x^{2}}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)} + \frac{- 1}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)}$

Этап 5.2.6.3.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{2 y}{(- 1 - x^{2}) (2 x - y)} + \frac{4 y x^{2}}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)} + \frac{- 1}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)}$

Этап 5.2.6.3.1.2

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.6.3.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4 y x^{2}$ .

$y' = \frac{2 y}{(- 1 - x^{2}) (2 x - y)} + \frac{2 (2 y x^{2})}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)} + \frac{- 1}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)}$

Этап 5.2.6.3.1.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.6.3.1.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)$ .

$y' = \frac{2 y}{(- 1 - x^{2}) (2 x - y)} + \frac{2 (2 y x^{2})}{2 ((- 1 - x^{2}) (2 x - y))} + \frac{- 1}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)}$

Этап 5.2.6.3.1.2.2.2

Сократим общий множитель.

$y' = \frac{2 y}{(- 1 - x^{2}) (2 x - y)} + \frac{2 (2 y x^{2})}{2 ((- 1 - x^{2}) (2 x - y))} + \frac{- 1}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)}$

Этап 5.2.6.3.1.2.2.3

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{2 y}{(- 1 - x^{2}) (2 x - y)} + \frac{2 y x^{2}}{(- 1 - x^{2}) (2 x - y)} + \frac{- 1}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)}$

Этап 5.2.6.3.1.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = \frac{2 y}{(- 1 - x^{2}) (2 x - y)} + \frac{2 y x^{2}}{(- 1 - x^{2}) (2 x - y)} - \frac{1}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 y}{(- 1 - x^{2}) (2 x - y)} + \frac{2 y x^{2}}{(- 1 - x^{2}) (2 x - y)} - \frac{1}{2 (- 1 - x^{2}) (2 x - y)}$