Математический анализ Примеры

$z = 3 x^{2} - 6 y^{2} + x y + 5 y - 9$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (z) = \frac{d}{d x} (3 x^{2} - 6 y^{2} + x y + 5 y - 9)$

Этап 2

Производная $z$ по $x$ равна $z'$ .

$z'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $3 x^{2} - 6 y^{2} + x y + 5 y - 9$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 y^{2}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [5 y] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 y^{2}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [5 y] + \frac{d}{d x} [- 9]$

Этап 3.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{2}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 y^{2}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [5 y] + \frac{d}{d x} [- 9]$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 6 y^{2}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [5 y] + \frac{d}{d x} [- 9]$

Этап 3.2.3

Умножим $2$ на $3$ .

$6 x + \frac{d}{d x} [- 6 y^{2}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [5 y] + \frac{d}{d x} [- 9]$

Этап 3.3

Поскольку $- 6 y^{2}$ является константой относительно $x$ , производная $- 6 y^{2}$ относительно $x$ равна $0$ .

$6 x + 0 + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [5 y] + \frac{d}{d x} [- 9]$

Этап 3.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [x y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Поскольку $y$ является константой относительно $x$ , производная $x y$ по $x$ равна $y \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 x + 0 + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5 y] + \frac{d}{d x} [- 9]$

Этап 3.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$6 x + 0 + y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5 y] + \frac{d}{d x} [- 9]$

Этап 3.4.3

Умножим $y$ на $1$ .

$6 x + 0 + y + \frac{d}{d x} [5 y] + \frac{d}{d x} [- 9]$

Этап 3.5

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Поскольку $5 y$ является константой относительно $x$ , производная $5 y$ относительно $x$ равна $0$ .

$6 x + 0 + y + 0 + \frac{d}{d x} [- 9]$

Этап 3.5.2

Поскольку $- 9$ является константой относительно $x$ , производная $- 9$ относительно $x$ равна $0$ .

$6 x + 0 + y + 0 + 0$

Этап 3.6

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Добавим $6 x$ и $0$ .

$6 x + y + 0 + 0$

Этап 3.6.2

Добавим $6 x + y$ и $0$ .

$6 x + y + 0$

Этап 3.6.3

Добавим $6 x + y$ и $0$ .

$6 x + y$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$z' = 6 x + y$

Этап 5

Заменим $z'$ на $\frac{d z}{d x}$ .

$\frac{d z}{d x} = 6 x + y$