Математический анализ Примеры

$y = 2 x \ln (5 x^{2})$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x \ln (5 x^{2})$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x \ln (5 x^{2})]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x \ln (5 x^{2})]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = \ln (5 x^{2})$ .

$2 (x \frac{d}{d x} [\ln (5 x^{2})] + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = 5 x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $5 x^{2}$ .

$2 (x (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [5 x^{2}]) + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.3.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$2 (x (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [5 x^{2}]) + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $5 x^{2}$ .

$2 (x (\frac{1}{5 x^{2}} \frac{d}{d x} [5 x^{2}]) + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Объединим $\frac{1}{5 x^{2}}$ и $x$ .

$2 (\frac{x}{5 x^{2}} \frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.4.2

Сократим общий множитель $x$ и $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$2 (\frac{x^{1}}{5 x^{2}} \frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.4.2.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{1}$ .

$2 (\frac{x \cdot 1}{5 x^{2}} \frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.4.2.3

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.3.1

Вынесем множитель $x$ из $5 x^{2}$ .

$2 (\frac{x \cdot 1}{x (5 x)} \frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.4.2.3.2

Сократим общий множитель.

$2 (\frac{x \cdot 1}{x (5 x)} \frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.4.2.3.3

Перепишем это выражение.

$2 (\frac{1}{5 x} \frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.4.3

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x^{2}$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 (\frac{1}{5 x} (5 \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.4.4

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.4.1

Объединим $5$ и $\frac{1}{5 x}$ .

$2 (\frac{5}{5 x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.4.4.2

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.4.2.1

Сократим общий множитель.

$2 (\frac{5}{5 x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.4.4.2.2

Перепишем это выражение.

$2 (\frac{1}{x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.4.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 (\frac{1}{x} (2 x) + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.4.6

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.6.1

Объединим $2$ и $\frac{1}{x}$ .

$2 (\frac{2}{x} x + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.4.6.2

Объединим $\frac{2}{x}$ и $x$ .

$2 (\frac{2 x}{x} + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.4.6.3

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.6.3.1

Сократим общий множитель.

$2 (\frac{2 x}{x} + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.4.6.3.2

Разделим $2$ на $1$ .

$2 (2 + \ln (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.4.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 (2 + \ln (5 x^{2}) \cdot 1)$

Этап 1.4.8

Умножим $\ln (5 x^{2})$ на $1$ .

$2 (2 + \ln (5 x^{2}))$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 \cdot 2 + 2 \ln (5 x^{2})$

Этап 1.5.2

Умножим $2$ на $2$ .

$4 + 2 \ln (5 x^{2})$

Этап 1.5.3

Изменим порядок членов.

$f' (x) = 2 \ln (5 x^{2}) + 4$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $2 \ln (5 x^{2}) + 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 \ln (5 x^{2})] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [2 \ln (5 x^{2})] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 \ln (5 x^{2})]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 \ln (5 x^{2})$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [\ln (5 x^{2})]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\ln (5 x^{2})] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 2.2.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $5 x^{2}$ .

$2 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [5 x^{2}]) + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 2.2.2.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$2 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [5 x^{2}]) + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 2.2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $5 x^{2}$ .

$2 (\frac{1}{5 x^{2}} \frac{d}{d x} [5 x^{2}]) + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 2.2.3

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x^{2}$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 (\frac{1}{5 x^{2}} (5 \frac{d}{d x} [x^{2}])) + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 2.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 (\frac{1}{5 x^{2}} (5 (2 x))) + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 2.2.5

Умножим $2$ на $5$ .

$2 (\frac{1}{5 x^{2}} (10 x)) + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 2.2.6

Объединим $10$ и $\frac{1}{5 x^{2}}$ .

$2 (\frac{10}{5 x^{2}} x) + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 2.2.7

Объединим $\frac{10}{5 x^{2}}$ и $x$ .

$2 \frac{10 x}{5 x^{2}} + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 2.2.8

Сократим общий множитель $10$ и $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.8.1

Вынесем множитель $5$ из $10 x$ .

$2 \frac{5 (2 x)}{5 x^{2}} + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 2.2.8.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.8.2.1

Вынесем множитель $5$ из $5 x^{2}$ .

$2 \frac{5 (2 x)}{5 (x^{2})} + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 2.2.8.2.2

Сократим общий множитель.

$2 \frac{5 (2 x)}{5 x^{2}} + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 2.2.8.2.3

Перепишем это выражение.

$2 \frac{2 x}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 2.2.9

Сократим общий множитель $x$ и $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.9.1

Вынесем множитель $x$ из $2 x$ .

$2 \frac{x \cdot 2}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 2.2.9.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.9.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$2 \frac{x \cdot 2}{x \cdot x} + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 2.2.9.2.2

Сократим общий множитель.

$2 \frac{x \cdot 2}{x \cdot x} + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 2.2.9.2.3

Перепишем это выражение.

$2 \frac{2}{x} + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 2.2.10

Объединим $2$ и $\frac{2}{x}$ .

$\frac{2 \cdot 2}{x} + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 2.2.11

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{4}{x} + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{4}{x} + 0$

Этап 2.3.2

Добавим $\frac{4}{x}$ и $0$ .

$f'' (x) = \frac{4}{x}$

Этап 3

Найдем третью производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{4}{x}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Этап 3.2

Перепишем $\frac{1}{x}$ в виде $x^{- 1}$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$4 (- x^{- 2})$

Этап 3.4

Умножим $- 1$ на $4$ .

$- 4 x^{- 2}$

Этап 3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 4 \frac{1}{x^{2}}$

Этап 3.5.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Объединим $- 4$ и $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{- 4}{x^{2}}$

Этап 3.5.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f''' (x) = - \frac{4}{x^{2}}$