Математический анализ Примеры

$lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} (1 + \frac{i}{n}) (\frac{2}{n})$

Этап 1

Упростим суммирование.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим $1 + \frac{i}{n}$ на $\frac{2}{n}$ .

$\frac{(1 + \frac{i}{n}) \cdot 2}{n}$

Этап 1.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{(\frac{n}{n} + \frac{i}{n}) \cdot 2}{n}$

Этап 1.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{n + i}{n} \cdot 2}{n}$

Этап 1.3

Объединим $\frac{n + i}{n}$ и $2$ .

$\frac{\frac{(n + i) \cdot 2}{n}}{n}$

Этап 1.4

Перенесем $2$ влево от $n + i$ .

$\frac{\frac{2 (n + i)}{n}}{n}$

Этап 1.5

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{2 (n + i)}{n} \cdot \frac{1}{n}$

Этап 1.6

Умножим $\frac{2 (n + i)}{n} \cdot \frac{1}{n}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Умножим $\frac{2 (n + i)}{n}$ на $\frac{1}{n}$ .

$\frac{2 (n + i)}{n \cdot n}$

Этап 1.6.2

Возведем $n$ в степень $1$ .

$\frac{2 (n + i)}{n^{1} n}$

Этап 1.6.3

Возведем $n$ в степень $1$ .

$\frac{2 (n + i)}{n^{1} n^{1}}$

Этап 1.6.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2 (n + i)}{n^{1 + 1}}$

Этап 1.6.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{2 (n + i)}{n^{2}}$

Этап 1.7

Переделаем суммирование.

$\sum_{i = 1}^{n} \frac{2 (n + i)}{n^{2}}$

Этап 2

Формула суммирования констант:

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Этап 3

Подставим значения в формулу.

$(\frac{2 (n + i)}{n^{2}}) (n)$

Этап 4

Сократим общий множитель $n$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вынесем множитель $n$ из $n^{2}$ .

$\frac{2 (n + i)}{n \cdot n} n$

Этап 4.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (n + i)}{n \cdot n} n$

Этап 4.3

Перепишем это выражение.

$\frac{2 (n + i)}{n}$