Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{1} \frac{1}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} d x$

Этап 1

Пусть $u = x - 1$ . Тогда $d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = x - 1$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Этап 1.1.2

По правилу суммы производная $x - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 1.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 1.1.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 1.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 1.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = x - 1$ .

$u_{lower} = 0 - 1$

Этап 1.3

Вычтем $1$ из $0$ .

$u_{lower} = - 1$

Этап 1.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = x - 1$ .

$u_{upper} = 1 - 1$

Этап 1.5

Вычтем $1$ из $1$ .

$u_{upper} = 0$

Этап 1.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = - 1$

$u_{upper} = 0$

Этап 1.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$\int_{- 1}^{0} \frac{1}{u^{\frac{1}{3}}} d u$

Этап 2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем $u^{\frac{1}{3}}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\int_{- 1}^{0} {(u^{\frac{1}{3}})}^{- 1} d u$

Этап 2.2

Перемножим экспоненты в ${(u^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{- 1}^{0} u^{\frac{1}{3} \cdot - 1} d u$

Этап 2.2.2

Объединим $\frac{1}{3}$ и $- 1$ .

$\int_{- 1}^{0} u^{\frac{- 1}{3}} d u$

Этап 2.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\int_{- 1}^{0} u^{- \frac{1}{3}} d u$

Этап 3

По правилу степени интеграл $u^{- \frac{1}{3}}$ по $u$ имеет вид $\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}}]_{- 1}^{0}$

Этап 4

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем значение $\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}}$ в $0$ и в $- 1$ .

$(\frac{3}{2} \cdot 0^{\frac{2}{3}}) - \frac{3}{2} {(- 1)}^{\frac{2}{3}}$

Этап 4.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Перепишем $0$ в виде $0^{3}$ .

$\frac{3}{2} \cdot {(0^{3})}^{\frac{2}{3}} - \frac{3}{2} {(- 1)}^{\frac{2}{3}}$

Этап 4.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3}{2} \cdot 0^{3 (\frac{2}{3})} - \frac{3}{2} {(- 1)}^{\frac{2}{3}}$

Этап 4.2.3

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3}{2} \cdot 0^{3 (\frac{2}{3})} - \frac{3}{2} {(- 1)}^{\frac{2}{3}}$

Этап 4.2.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{3}{2} \cdot 0^{2} - \frac{3}{2} {(- 1)}^{\frac{2}{3}}$

Этап 4.2.4

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{3}{2} \cdot 0 - \frac{3}{2} {(- 1)}^{\frac{2}{3}}$

Этап 4.2.5

Умножим $\frac{3}{2}$ на $0$ .

$0 - \frac{3}{2} {(- 1)}^{\frac{2}{3}}$

Этап 4.2.6

Перепишем $- 1$ в виде ${(- 1)}^{3}$ .

$0 - \frac{3}{2} {({(- 1)}^{3})}^{\frac{2}{3}}$

Этап 4.2.7

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0 - \frac{3}{2} {(- 1)}^{3 (\frac{2}{3})}$

Этап 4.2.8

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.8.1

Сократим общий множитель.

$0 - \frac{3}{2} {(- 1)}^{3 (\frac{2}{3})}$

Этап 4.2.8.2

Перепишем это выражение.

$0 - \frac{3}{2} {(- 1)}^{2}$

Этап 4.2.9

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$0 - \frac{3}{2} \cdot 1$

Этап 4.2.10

Умножим $- 1$ на $1$ .

$0 - \frac{3}{2}$

Этап 4.2.11

Вычтем $\frac{3}{2}$ из $0$ .

$- \frac{3}{2}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$- \frac{3}{2}$

Десятичная форма:

$- 1.5$

Форма смешанных чисел:

$- 1 \frac{1}{2}$

Этап 6