Математический анализ Примеры

$y = x^{2} e^{x}$

Этап 1

Запишем $y = x^{2} e^{x}$ в виде функции.

$f (x) = x^{2} e^{x}$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = e^{x}$ .

$f' (x) = x^{2} \frac{d}{d x} (e^{x}) + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{2})$

Этап 2.1.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ имеет вид $a^{x} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$f' (x) = x^{2} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{2})$

Этап 2.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f' (x) = x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)$

Этап 2.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.1

Изменим порядок членов.

$f' (x) = e^{x} x^{2} + 2 e^{x} x$

Этап 2.1.4.2

Изменим порядок множителей в $e^{x} x^{2} + 2 e^{x} x$ .

$f' (x) = x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$

Этап 2.2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

По правилу суммы производная $x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}] + \frac{d}{d x} [2 x e^{x}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (x^{2} e^{x}) + \frac{d}{d x} (2 x e^{x})$

Этап 2.2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

$f'' (x) = x^{2} \frac{d}{d x} (e^{x}) + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (2 x e^{x})$

Этап 2.2.2.2

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (2 x e^{x})$

Этап 2.2.2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + \frac{d}{d x} (2 x e^{x})$

Этап 2.2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x e^{x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x e^{x}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x e^{x}]$ .

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + 2 \frac{d}{d x} (x e^{x})$

Этап 2.2.3.2

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + 2 (x \frac{d}{d x} (e^{x}) + e^{x} \frac{d}{d x} (x))$

Этап 2.2.3.3

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + 2 (x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} (x))$

Этап 2.2.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + 2 (x e^{x} + e^{x} \cdot 1)$

Этап 2.2.3.5

Умножим $e^{x}$ на $1$ .

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + 2 (x e^{x} + e^{x})$

Этап 2.2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + 2 (x e^{x}) + 2 e^{x}$

Этап 2.2.4.2

Добавим $e^{x} (2 x)$ и $2 x e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.2.1

Перенесем $e^{x}$ .

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} + 2 x e^{x} + 2 e^{x}$

Этап 2.2.4.2.2

Добавим $2 x e^{x}$ и $2 x e^{x}$ .

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + 4 x e^{x} + 2 e^{x}$

Этап 2.2.4.3

Изменим порядок членов.

$f'' (x) = e^{x} x^{2} + 4 e^{x} x + 2 e^{x}$

Этап 2.2.4.4

Изменим порядок множителей в $e^{x} x^{2} + 4 e^{x} x + 2 e^{x}$ .

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + 4 x e^{x} + 2 e^{x}$

Этап 2.3

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $x^{2} e^{x} + 4 x e^{x} + 2 e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} + 4 x e^{x} + 2 e^{x}$

Этап 3

Приравняем вторую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $x^{2} e^{x} + 4 x e^{x} + 2 e^{x} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Пусть вторая производная равна $0$ .

$x^{2} e^{x} + 4 x e^{x} + 2 e^{x} = 0$

Этап 3.2

Вынесем множитель $e^{x}$ из $x^{2} e^{x} + 4 x e^{x} + 2 e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вынесем множитель $e^{x}$ из $x^{2} e^{x}$ .

$e^{x} x^{2} + 4 x e^{x} + 2 e^{x} = 0$

Этап 3.2.2

Вынесем множитель $e^{x}$ из $4 x e^{x}$ .

$e^{x} x^{2} + e^{x} (4 x) + 2 e^{x} = 0$

Этап 3.2.3

Вынесем множитель $e^{x}$ из $2 e^{x}$ .

$e^{x} x^{2} + e^{x} (4 x) + e^{x} \cdot 2 = 0$

Этап 3.2.4

Вынесем множитель $e^{x}$ из $e^{x} x^{2} + e^{x} (4 x)$ .

$e^{x} (x^{2} + 4 x) + e^{x} \cdot 2 = 0$

Этап 3.2.5

Вынесем множитель $e^{x}$ из $e^{x} (x^{2} + 4 x) + e^{x} \cdot 2$ .

$e^{x} (x^{2} + 4 x + 2) = 0$

Этап 3.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$e^{x} = 0$

$x^{2} + 4 x + 2 = 0$

Этап 3.4

Приравняем $e^{x}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Приравняем $e^{x}$ к $0$ .

$e^{x} = 0$

Этап 3.4.2

Решим $e^{x} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

Этап 3.4.2.2

Уравнение невозможно решить, так как выражение $\ln (0)$ не определено.

Неопределенные

Этап 3.4.2.3

Нет решения для $e^{x} = 0$

Нет решения

Этап 3.5

Приравняем $x^{2} + 4 x + 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Приравняем $x^{2} + 4 x + 2$ к $0$ .

$x^{2} + 4 x + 2 = 0$

Этап 3.5.2

Решим $x^{2} + 4 x + 2 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 3.5.2.2

Подставим значения $a = 1$ , $b = 4$ и $c = 2$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 2)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.3.1.1

Возведем $4$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.2.3.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.3.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.2.3.1.2.2

Умножим $- 4$ на $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 8}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.2.3.1.3

Вычтем $8$ из $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.2.3.1.4

Перепишем $8$ в виде $2^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.3.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.2.3.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.2.3.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.2.3.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$

Этап 3.5.2.3.3

Упростим $\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$ .

$x = - 2 \pm \sqrt{2}$

Этап 3.5.2.4

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.4.1.1

Возведем $4$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.2.4.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.4.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.2.4.1.2.2

Умножим $- 4$ на $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 8}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.2.4.1.3

Вычтем $8$ из $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.2.4.1.4

Перепишем $8$ в виде $2^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.4.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.2.4.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.2.4.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.2.4.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$

Этап 3.5.2.4.3

Упростим $\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$ .

$x = - 2 \pm \sqrt{2}$

Этап 3.5.2.4.4

Заменим $\pm$ на $+$ .

$x = - 2 + \sqrt{2}$

Этап 3.5.2.5

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.5.1.1

Возведем $4$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.2.5.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.2.5.1.2.2

Умножим $- 4$ на $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 8}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.2.5.1.3

Вычтем $8$ из $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.2.5.1.4

Перепишем $8$ в виде $2^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.5.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.2.5.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.2.5.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.2.5.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$

Этап 3.5.2.5.3

Упростим $\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$ .

$x = - 2 \pm \sqrt{2}$

Этап 3.5.2.5.4

Заменим $\pm$ на $-$ .

$x = - 2 - \sqrt{2}$

Этап 3.5.2.6

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = - 2 + \sqrt{2}, - 2 - \sqrt{2}$

Этап 3.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $e^{x} (x^{2} + 4 x + 2) = 0$ верно.

$x = - 2 + \sqrt{2}, - 2 - \sqrt{2}$

Этап 4

Найдем точки, в которых вторая производная равна $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим $- 2 + \sqrt{2}$ в $f (x) = x^{2} e^{x}$ , чтобы найти значение $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 2 + \sqrt{2}$ .

$f (- 2 + \sqrt{2}) = {(- 2 + \sqrt{2})}^{2} e^{- 2 + \sqrt{2}}$

Этап 4.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Перепишем ${(- 2 + \sqrt{2})}^{2}$ в виде $(- 2 + \sqrt{2}) (- 2 + \sqrt{2})$ .

$f (- 2 + \sqrt{2}) = (- 2 + \sqrt{2}) (- 2 + \sqrt{2}) e^{- 2 + \sqrt{2}}$

Этап 4.1.2.2

Развернем $(- 2 + \sqrt{2}) (- 2 + \sqrt{2})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (- 2 + \sqrt{2}) = (- 2 (- 2 + \sqrt{2}) + \sqrt{2} (- 2 + \sqrt{2})) e^{- 2 + \sqrt{2}}$

Этап 4.1.2.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f (- 2 + \sqrt{2}) = (- 2 \cdot - 2 - 2 \sqrt{2} + \sqrt{2} (- 2 + \sqrt{2})) e^{- 2 + \sqrt{2}}$

Этап 4.1.2.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f (- 2 + \sqrt{2}) = (- 2 \cdot - 2 - 2 \sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot - 2 + \sqrt{2} \sqrt{2}) e^{- 2 + \sqrt{2}}$

Этап 4.1.2.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.3.1.1

Умножим $- 2$ на $- 2$ .

$f (- 2 + \sqrt{2}) = (4 - 2 \sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot - 2 + \sqrt{2} \sqrt{2}) e^{- 2 + \sqrt{2}}$

Этап 4.1.2.3.1.2

Перенесем $- 2$ влево от $\sqrt{2}$ .

$f (- 2 + \sqrt{2}) = (4 - 2 \sqrt{2} - 2 \cdot \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{2}) e^{- 2 + \sqrt{2}}$

Этап 4.1.2.3.1.3

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$f (- 2 + \sqrt{2}) = (4 - 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} + \sqrt{2 \cdot 2}) e^{- 2 + \sqrt{2}}$

Этап 4.1.2.3.1.4

Умножим $2$ на $2$ .

$f (- 2 + \sqrt{2}) = (4 - 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} + \sqrt{4}) e^{- 2 + \sqrt{2}}$

Этап 4.1.2.3.1.5

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$f (- 2 + \sqrt{2}) = (4 - 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} + \sqrt{2^{2}}) e^{- 2 + \sqrt{2}}$

Этап 4.1.2.3.1.6

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$f (- 2 + \sqrt{2}) = (4 - 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} + 2) e^{- 2 + \sqrt{2}}$

Этап 4.1.2.3.2

Добавим $4$ и $2$ .

$f (- 2 + \sqrt{2}) = (6 - 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2}) e^{- 2 + \sqrt{2}}$

Этап 4.1.2.3.3

Вычтем $2 \sqrt{2}$ из $- 2 \sqrt{2}$ .

$f (- 2 + \sqrt{2}) = (6 - 4 \sqrt{2}) e^{- 2 + \sqrt{2}}$

Этап 4.1.2.4

Применим свойство дистрибутивности.

$f (- 2 + \sqrt{2}) = 6 e^{- 2 + \sqrt{2}} - 4 \sqrt{2} e^{- 2 + \sqrt{2}}$

Этап 4.1.2.5

Окончательный ответ: $6 e^{- 2 + \sqrt{2}} - 4 \sqrt{2} e^{- 2 + \sqrt{2}}$ .

$6 e^{- 2 + \sqrt{2}} - 4 \sqrt{2} e^{- 2 + \sqrt{2}}$

Этап 4.2

Подставляя $- 2 + \sqrt{2}$ в $f (x) = x^{2} e^{x}$ , найдем точку $(- 2 + \sqrt{2}, 6 e^{- 2 + \sqrt{2}} - 4 \sqrt{2} e^{- 2 + \sqrt{2}})$ . Эта точка может быть точкой перегиба.

$(- 2 + \sqrt{2}, 6 e^{- 2 + \sqrt{2}} - 4 \sqrt{2} e^{- 2 + \sqrt{2}})$

Этап 4.3

Подставим $- 2 - \sqrt{2}$ в $f (x) = x^{2} e^{x}$ , чтобы найти значение $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 2 - \sqrt{2}$ .

$f (- 2 - \sqrt{2}) = {(- 2 - \sqrt{2})}^{2} e^{- 2 - \sqrt{2}}$

Этап 4.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Перепишем ${(- 2 - \sqrt{2})}^{2}$ в виде $(- 2 - \sqrt{2}) (- 2 - \sqrt{2})$ .

$f (- 2 - \sqrt{2}) = (- 2 - \sqrt{2}) (- 2 - \sqrt{2}) e^{- 2 - \sqrt{2}}$

Этап 4.3.2.2

Развернем $(- 2 - \sqrt{2}) (- 2 - \sqrt{2})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (- 2 - \sqrt{2}) = (- 2 (- 2 - \sqrt{2}) - \sqrt{2} (- 2 - \sqrt{2})) e^{- 2 - \sqrt{2}}$

Этап 4.3.2.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f (- 2 - \sqrt{2}) = (- 2 \cdot - 2 - 2 (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} (- 2 - \sqrt{2})) e^{- 2 - \sqrt{2}}$

Этап 4.3.2.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f (- 2 - \sqrt{2}) = (- 2 \cdot - 2 - 2 (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} \cdot - 2 - \sqrt{2} (- \sqrt{2})) e^{- 2 - \sqrt{2}}$

Этап 4.3.2.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.3.1.1

Умножим $- 2$ на $- 2$ .

$f (- 2 - \sqrt{2}) = (4 - 2 (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} \cdot - 2 - \sqrt{2} (- \sqrt{2})) e^{- 2 - \sqrt{2}}$

Этап 4.3.2.3.1.2

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$f (- 2 - \sqrt{2}) = (4 + 2 \sqrt{2} - \sqrt{2} \cdot - 2 - \sqrt{2} (- \sqrt{2})) e^{- 2 - \sqrt{2}}$

Этап 4.3.2.3.1.3

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$f (- 2 - \sqrt{2}) = (4 + 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})) e^{- 2 - \sqrt{2}}$

Этап 4.3.2.3.1.4

Умножим $- \sqrt{2} (- \sqrt{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.3.1.4.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f (- 2 - \sqrt{2}) = (4 + 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} + 1 \sqrt{2} \sqrt{2}) e^{- 2 - \sqrt{2}}$

Этап 4.3.2.3.1.4.2

Умножим $\sqrt{2}$ на $1$ .

$f (- 2 - \sqrt{2}) = (4 + 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{2}) e^{- 2 - \sqrt{2}}$

Этап 4.3.2.3.1.4.3

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$f (- 2 - \sqrt{2}) = (4 + 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{2}) e^{- 2 - \sqrt{2}}$

Этап 4.3.2.3.1.4.4

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$f (- 2 - \sqrt{2}) = (4 + 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{2}) e^{- 2 - \sqrt{2}}$

Этап 4.3.2.3.1.4.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f (- 2 - \sqrt{2}) = (4 + 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} + {\sqrt{2}}^{1 + 1}) e^{- 2 - \sqrt{2}}$

Этап 4.3.2.3.1.4.6

Добавим $1$ и $1$ .

$f (- 2 - \sqrt{2}) = (4 + 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} + {\sqrt{2}}^{2}) e^{- 2 - \sqrt{2}}$

Этап 4.3.2.3.1.5

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.3.1.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- 2 - \sqrt{2}) = (4 + 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} + {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}) e^{- 2 - \sqrt{2}}$

Этап 4.3.2.3.1.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- 2 - \sqrt{2}) = (4 + 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} + 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}) e^{- 2 - \sqrt{2}}$

Этап 4.3.2.3.1.5.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$f (- 2 - \sqrt{2}) = (4 + 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} + 2^{\frac{2}{2}}) e^{- 2 - \sqrt{2}}$

Этап 4.3.2.3.1.5.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.3.1.5.4.1

Сократим общий множитель.

$f (- 2 - \sqrt{2}) = (4 + 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} + 2^{\frac{2}{2}}) e^{- 2 - \sqrt{2}}$

Этап 4.3.2.3.1.5.4.2

Перепишем это выражение.

$f (- 2 - \sqrt{2}) = (4 + 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} + 2) e^{- 2 - \sqrt{2}}$

Этап 4.3.2.3.1.5.5

Найдем экспоненту.

$f (- 2 - \sqrt{2}) = (4 + 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} + 2) e^{- 2 - \sqrt{2}}$

Этап 4.3.2.3.2

Добавим $4$ и $2$ .

$f (- 2 - \sqrt{2}) = (6 + 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2}) e^{- 2 - \sqrt{2}}$

Этап 4.3.2.3.3

Добавим $2 \sqrt{2}$ и $2 \sqrt{2}$ .

$f (- 2 - \sqrt{2}) = (6 + 4 \sqrt{2}) e^{- 2 - \sqrt{2}}$

Этап 4.3.2.4

Применим свойство дистрибутивности.

$f (- 2 - \sqrt{2}) = 6 e^{- 2 - \sqrt{2}} + 4 \sqrt{2} e^{- 2 - \sqrt{2}}$

Этап 4.3.2.5

Окончательный ответ: $6 e^{- 2 - \sqrt{2}} + 4 \sqrt{2} e^{- 2 - \sqrt{2}}$ .

$6 e^{- 2 - \sqrt{2}} + 4 \sqrt{2} e^{- 2 - \sqrt{2}}$

Этап 4.4

Подставляя $- 2 - \sqrt{2}$ в $f (x) = x^{2} e^{x}$ , найдем точку $(- 2 - \sqrt{2}, 6 e^{- 2 - \sqrt{2}} + 4 \sqrt{2} e^{- 2 - \sqrt{2}})$ . Эта точка может быть точкой перегиба.

$(- 2 - \sqrt{2}, 6 e^{- 2 - \sqrt{2}} + 4 \sqrt{2} e^{- 2 - \sqrt{2}})$

Этап 4.5

Определим точки, которые могут быть точками перегиба.

$(- 2 + \sqrt{2}, 6 e^{- 2 + \sqrt{2}} - 4 \sqrt{2} e^{- 2 + \sqrt{2}}), (- 2 - \sqrt{2}, 6 e^{- 2 - \sqrt{2}} + 4 \sqrt{2} e^{- 2 - \sqrt{2}})$

Этап 5

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на интервалы вокруг точек, которые могут быть точками перегиба.

$(- \infty, - 2 - \sqrt{2}) \cup (- 2 - \sqrt{2}, - 2 + \sqrt{2}) \cup (- 2 + \sqrt{2}, \infty)$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(- \infty, - 2 - \sqrt{2})$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 3.51421356$ .

$f'' (- 3.51421356) = {(- 3.51421356)}^{2} e^{- 3.51421356} + 4 (- 3.51421356) \cdot e^{- 3.51421356} + 2 e^{- 3.51421356}$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Возведем $- 3.51421356$ в степень $2$ .

$f'' (- 3.51421356) = 12.34969696 e^{- 3.51421356} + 4 (- 3.51421356) \cdot e^{- 3.51421356} + 2 e^{- 3.51421356}$

Этап 6.2.1.2

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 3.51421356) = 12.34969696 (\frac{1}{e^{3.51421356}}) + 4 (- 3.51421356) \cdot e^{- 3.51421356} + 2 e^{- 3.51421356}$

Этап 6.2.1.3

Объединим $12.34969696$ и $\frac{1}{e^{3.51421356}}$ .

$f'' (- 3.51421356) = \frac{12.34969696}{e^{3.51421356}} + 4 (- 3.51421356) \cdot e^{- 3.51421356} + 2 e^{- 3.51421356}$

Этап 6.2.1.4

Заменим $e$ приближением.

$f'' (- 3.51421356) = \frac{12.34969696}{{2.71828182}^{3.51421356}} + 4 (- 3.51421356) \cdot e^{- 3.51421356} + 2 e^{- 3.51421356}$

Этап 6.2.1.5

Возведем $2.71828182$ в степень $3.51421356$ .

$f'' (- 3.51421356) = \frac{12.34969696}{33.58950148} + 4 (- 3.51421356) \cdot e^{- 3.51421356} + 2 e^{- 3.51421356}$

Этап 6.2.1.6

Разделим $12.34969696$ на $33.58950148$ .

$f'' (- 3.51421356) = 0.36766538 + 4 (- 3.51421356) \cdot e^{- 3.51421356} + 2 e^{- 3.51421356}$

Этап 6.2.1.7

Умножим $4$ на $- 3.51421356$ .

$f'' (- 3.51421356) = 0.36766538 - 14.05685424 \cdot e^{- 3.51421356} + 2 e^{- 3.51421356}$

Этап 6.2.1.8

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 3.51421356) = 0.36766538 - 14.05685424 \cdot \frac{1}{e^{3.51421356}} + 2 e^{- 3.51421356}$

Этап 6.2.1.9

Объединим $- 14.05685424$ и $\frac{1}{e^{3.51421356}}$ .

$f'' (- 3.51421356) = 0.36766538 + \frac{- 14.05685424}{e^{3.51421356}} + 2 e^{- 3.51421356}$

Этап 6.2.1.10

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (- 3.51421356) = 0.36766538 - \frac{14.05685424}{e^{3.51421356}} + 2 e^{- 3.51421356}$

Этап 6.2.1.11

Заменим $e$ приближением.

$f'' (- 3.51421356) = 0.36766538 - \frac{14.05685424}{{2.71828182}^{3.51421356}} + 2 e^{- 3.51421356}$

Этап 6.2.1.12

Возведем $2.71828182$ в степень $3.51421356$ .

$f'' (- 3.51421356) = 0.36766538 - \frac{14.05685424}{33.58950148} + 2 e^{- 3.51421356}$

Этап 6.2.1.13

Разделим $14.05685424$ на $33.58950148$ .

$f'' (- 3.51421356) = 0.36766538 - 1 \cdot 0.41848951 + 2 e^{- 3.51421356}$

Этап 6.2.1.14

Умножим $- 1$ на $0.41848951$ .

$f'' (- 3.51421356) = 0.36766538 - 0.41848951 + 2 e^{- 3.51421356}$

Этап 6.2.1.15

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 3.51421356) = 0.36766538 - 0.41848951 + 2 (\frac{1}{e^{3.51421356}})$

Этап 6.2.1.16

Объединим $2$ и $\frac{1}{e^{3.51421356}}$ .

$f'' (- 3.51421356) = 0.36766538 - 0.41848951 + \frac{2}{e^{3.51421356}}$

Этап 6.2.2

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Вычтем $0.41848951$ из $0.36766538$ .

$f'' (- 3.51421356) = - 0.05082413 + \frac{2}{e^{3.51421356}}$

Этап 6.2.2.2

Добавим $- 0.05082413$ и $\frac{2}{e^{3.51421356}}$ .

$f'' (- 3.51421356) = 0.00871828$

Этап 6.2.3

Окончательный ответ: $0.00871828$ .

$0.00871828$

Этап 6.3

При $- 3.51421356$ вторая производная имеет вид $0.00871828$ . Поскольку это положительная величина, вторая производная возрастает на интервале $(- \infty, - 2 - \sqrt{2})$ .

Возрастание в области $(- \infty, - 2 - \sqrt{2})$ , так как $f'' (x) > 0$

Этап 7

Подставим значение из интервала $(- 2 - \sqrt{2}, - 2 + \sqrt{2})$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 2$ .

$f'' (- 2) = {(- 2)}^{2} e^{- 2} + 4 (- 2) \cdot e^{- 2} + 2 e^{- 2}$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$f'' (- 2) = 4 e^{- 2} + 4 (- 2) \cdot e^{- 2} + 2 e^{- 2}$

Этап 7.2.1.2

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 2) = 4 (\frac{1}{e^{2}}) + 4 (- 2) \cdot e^{- 2} + 2 e^{- 2}$

Этап 7.2.1.3

Объединим $4$ и $\frac{1}{e^{2}}$ .

$f'' (- 2) = \frac{4}{e^{2}} + 4 (- 2) \cdot e^{- 2} + 2 e^{- 2}$

Этап 7.2.1.4

Заменим $e$ приближением.

$f'' (- 2) = \frac{4}{{2.71828182}^{2}} + 4 (- 2) \cdot e^{- 2} + 2 e^{- 2}$

Этап 7.2.1.5

Возведем $2.71828182$ в степень $2$ .

$f'' (- 2) = \frac{4}{7.38905609} + 4 (- 2) \cdot e^{- 2} + 2 e^{- 2}$

Этап 7.2.1.6

Разделим $4$ на $7.38905609$ .

$f'' (- 2) = 0.54134113 + 4 (- 2) \cdot e^{- 2} + 2 e^{- 2}$

Этап 7.2.1.7

Умножим $4$ на $- 2$ .

$f'' (- 2) = 0.54134113 - 8 \cdot e^{- 2} + 2 e^{- 2}$

Этап 7.2.1.8

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 2) = 0.54134113 - 8 \cdot \frac{1}{e^{2}} + 2 e^{- 2}$

Этап 7.2.1.9

Объединим $- 8$ и $\frac{1}{e^{2}}$ .

$f'' (- 2) = 0.54134113 + \frac{- 8}{e^{2}} + 2 e^{- 2}$

Этап 7.2.1.10

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (- 2) = 0.54134113 - \frac{8}{e^{2}} + 2 e^{- 2}$

Этап 7.2.1.11

Заменим $e$ приближением.

$f'' (- 2) = 0.54134113 - \frac{8}{{2.71828182}^{2}} + 2 e^{- 2}$

Этап 7.2.1.12

Возведем $2.71828182$ в степень $2$ .

$f'' (- 2) = 0.54134113 - \frac{8}{7.38905609} + 2 e^{- 2}$

Этап 7.2.1.13

Разделим $8$ на $7.38905609$ .

$f'' (- 2) = 0.54134113 - 1 \cdot 1.08268226 + 2 e^{- 2}$

Этап 7.2.1.14

Умножим $- 1$ на $1.08268226$ .

$f'' (- 2) = 0.54134113 - 1.08268226 + 2 e^{- 2}$

Этап 7.2.1.15

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 2) = 0.54134113 - 1.08268226 + 2 (\frac{1}{e^{2}})$

Этап 7.2.1.16

Объединим $2$ и $\frac{1}{e^{2}}$ .

$f'' (- 2) = 0.54134113 - 1.08268226 + \frac{2}{e^{2}}$

Этап 7.2.2

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Вычтем $1.08268226$ из $0.54134113$ .

$f'' (- 2) = - 0.54134113 + \frac{2}{e^{2}}$

Этап 7.2.2.2

Добавим $- 0.54134113$ и $\frac{2}{e^{2}}$ .

$f'' (- 2) = - 0.27067056$

Этап 7.2.3

Окончательный ответ: $- 0.27067056$ .

$- 0.27067056$

Этап 7.3

При $- 2$ вторая производная имеет вид $- 0.27067056$ . Поскольку это отрицательная величина, вторая производная уменьшается на интервале $(- 2 - \sqrt{2}, - 2 + \sqrt{2})$ .

Убывание на $(- 2 - \sqrt{2}, - 2 + \sqrt{2})$ , так как $f'' (x) < 0$

Этап 8

Подставим значение из интервала $(- 2 + \sqrt{2}, \infty)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 0.48578643$ .

$f'' (- 0.48578643) = {(- 0.48578643)}^{2} e^{- 0.48578643} + 4 (- 0.48578643) \cdot e^{- 0.48578643} + 2 e^{- 0.48578643}$

Этап 8.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Возведем $- 0.48578643$ в степень $2$ .

$f'' (- 0.48578643) = 0.23598846 e^{- 0.48578643} + 4 (- 0.48578643) \cdot e^{- 0.48578643} + 2 e^{- 0.48578643}$

Этап 8.2.1.2

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 0.48578643) = 0.23598846 (\frac{1}{e^{0.48578643}}) + 4 (- 0.48578643) \cdot e^{- 0.48578643} + 2 e^{- 0.48578643}$

Этап 8.2.1.3

Объединим $0.23598846$ и $\frac{1}{e^{0.48578643}}$ .

$f'' (- 0.48578643) = \frac{0.23598846}{e^{0.48578643}} + 4 (- 0.48578643) \cdot e^{- 0.48578643} + 2 e^{- 0.48578643}$

Этап 8.2.1.4

Заменим $e$ приближением.

$f'' (- 0.48578643) = \frac{0.23598846}{{2.71828182}^{0.48578643}} + 4 (- 0.48578643) \cdot e^{- 0.48578643} + 2 e^{- 0.48578643}$

Этап 8.2.1.5

Возведем $2.71828182$ в степень $0.48578643$ .

$f'' (- 0.48578643) = \frac{0.23598846}{1.62545282} + 4 (- 0.48578643) \cdot e^{- 0.48578643} + 2 e^{- 0.48578643}$

Этап 8.2.1.6

Разделим $0.23598846$ на $1.62545282$ .

$f'' (- 0.48578643) = 0.14518321 + 4 (- 0.48578643) \cdot e^{- 0.48578643} + 2 e^{- 0.48578643}$

Этап 8.2.1.7

Умножим $4$ на $- 0.48578643$ .

$f'' (- 0.48578643) = 0.14518321 - 1.94314575 \cdot e^{- 0.48578643} + 2 e^{- 0.48578643}$

Этап 8.2.1.8

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 0.48578643) = 0.14518321 - 1.94314575 \cdot \frac{1}{e^{0.48578643}} + 2 e^{- 0.48578643}$

Этап 8.2.1.9

Объединим $- 1.94314575$ и $\frac{1}{e^{0.48578643}}$ .

$f'' (- 0.48578643) = 0.14518321 + \frac{- 1.94314575}{e^{0.48578643}} + 2 e^{- 0.48578643}$

Этап 8.2.1.10

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (- 0.48578643) = 0.14518321 - \frac{1.94314575}{e^{0.48578643}} + 2 e^{- 0.48578643}$

Этап 8.2.1.11

Заменим $e$ приближением.

$f'' (- 0.48578643) = 0.14518321 - \frac{1.94314575}{{2.71828182}^{0.48578643}} + 2 e^{- 0.48578643}$

Этап 8.2.1.12

Возведем $2.71828182$ в степень $0.48578643$ .

$f'' (- 0.48578643) = 0.14518321 - \frac{1.94314575}{1.62545282} + 2 e^{- 0.48578643}$

Этап 8.2.1.13

Разделим $1.94314575$ на $1.62545282$ .

$f'' (- 0.48578643) = 0.14518321 - 1 \cdot 1.19544887 + 2 e^{- 0.48578643}$

Этап 8.2.1.14

Умножим $- 1$ на $1.19544887$ .

$f'' (- 0.48578643) = 0.14518321 - 1.19544887 + 2 e^{- 0.48578643}$

Этап 8.2.1.15

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 0.48578643) = 0.14518321 - 1.19544887 + 2 (\frac{1}{e^{0.48578643}})$

Этап 8.2.1.16

Объединим $2$ и $\frac{1}{e^{0.48578643}}$ .

$f'' (- 0.48578643) = 0.14518321 - 1.19544887 + \frac{2}{e^{0.48578643}}$

Этап 8.2.2

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1

Вычтем $1.19544887$ из $0.14518321$ .

$f'' (- 0.48578643) = - 1.05026566 + \frac{2}{e^{0.48578643}}$

Этап 8.2.2.2

Добавим $- 1.05026566$ и $\frac{2}{e^{0.48578643}}$ .

$f'' (- 0.48578643) = 0.18016069$

Этап 8.2.3

Окончательный ответ: $0.18016069$ .

$0.18016069$

Этап 8.3

При $- 0.48578643$ вторая производная имеет вид $0.18016069$ . Поскольку это положительная величина, вторая производная возрастает на интервале $(- 2 + \sqrt{2}, \infty)$ .

Возрастание в области $(- 2 + \sqrt{2}, \infty)$ , так как $f'' (x) > 0$

Этап 9

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(- 2 - \sqrt{2}, 6 e^{- 2 - \sqrt{2}} + 4 \sqrt{2} e^{- 2 - \sqrt{2}}), (- 2 + \sqrt{2}, 6 e^{- 2 + \sqrt{2}} - 4 \sqrt{2} e^{- 2 + \sqrt{2}})$ .

$(- 2 - \sqrt{2}, 6 e^{- 2 - \sqrt{2}} + 4 \sqrt{2} e^{- 2 - \sqrt{2}}), (- 2 + \sqrt{2}, 6 e^{- 2 + \sqrt{2}} - 4 \sqrt{2} e^{- 2 + \sqrt{2}})$

Этап 10