Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{2 x^{2} + 5}{x^{2} + 1}$

Этап 1

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 2

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int \frac{2 x^{2} + 5}{x^{2} + 1} d x$

Этап 3

Разделим $2 x^{2} + 5$ на $x^{2} + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$2 x^{2}$

$0 x$

$5$

Этап 3.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $2 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x^{2}$ .

							$2$
	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$5$

Этап 3.3

Умножим новое частное на делитель.

						$2$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$5$
					+	$2 x^{2}$	+	$0$	+	$2$

Этап 3.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $2 x^{2} + 0 + 2$ .

						$2$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$5$
					-	$2 x^{2}$	-	$0$	-	$2$

Этап 3.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

						$2$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$5$
					-	$2 x^{2}$	-	$0$	-	$2$
									+	$3$

Этап 3.6

Окончательный ответ: неполное частное плюс остаток, деленный на делитель.

$\int 2 + \frac{3}{x^{2} + 1} d x$

Этап 4

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int 2 d x + \int \frac{3}{x^{2} + 1} d x$

Этап 5

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$2 x + C + \int \frac{3}{x^{2} + 1} d x$

Этап 6

Поскольку $3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$2 x + C + 3 \int \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Этап 7

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Изменим порядок $x^{2}$ и $1$ .

$2 x + C + 3 \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Этап 7.2

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$2 x + C + 3 \int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x$

Этап 8

Интеграл $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ по $x$ имеет вид $\arctan (x) + C$ .

$2 x + C + 3 (\arctan (x) + C)$

Этап 9

Упростим.

$2 x + 3 \arctan (x) + C$

Этап 10

Ответ ― первообразная функции $f (x) = \frac{2 x^{2} + 5}{x^{2} + 1}$ .

$F (x) =$ $2 x + 3 \arctan (x) + C$