Математический анализ Примеры

$\int \tan^{4} (5 x) d x$

Этап 1

Пусть $u_{1} = 5 x$ . Тогда $d u_{1} = 5 d x$ , следовательно $\frac{1}{5} d u_{1} = d x$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u_{1} = 5 x$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $5 x$ .

$\frac{d}{d x} [5 x]$

Этап 1.1.2

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$5 \cdot 1$

Этап 1.1.4

Умножим $5$ на $1$ .

$5$

Этап 1.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{1}$ и $d u_{1}$ .

$\int \tan^{4} (u_{1}) \frac{1}{5} d u_{1}$

Этап 2

Объединим $\tan^{4} (u_{1})$ и $\frac{1}{5}$ .

$\int \frac{\tan^{4} (u_{1})}{5} d u_{1}$

Этап 3

Поскольку $\frac{1}{5}$ — константа по отношению к $u_{1}$ , вынесем $\frac{1}{5}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{5} \int \tan^{4} (u_{1}) d u_{1}$

Этап 4

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{1}{5} \int {\tan (u_{1})}^{2 (2)} d u_{1}$

Этап 4.2

Перепишем ${\tan (u_{1})}^{2 (2)}$ в виде степенного выражения.

$\frac{1}{5} \int {(\tan^{2} (u_{1}))}^{2} d u_{1}$

Этап 5

Используя формулы Пифагора, запишем $\tan^{2} (u_{1})$ в виде $- 1 + \sec^{2} (u_{1})$ .

$\frac{1}{5} \int {(- 1 + \sec^{2} (u_{1}))}^{2} d u_{1}$

Этап 6

Упростим.

$\frac{1}{5} \int 1 - 2 \sec^{2} (u) + \sec^{4} (u) d u_{1}$

Этап 7

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{1}{5} ((1 - 2 \sec^{2} (u) + \sec^{4} (u)) u_{1} + C)$

Этап 8

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Перепишем $\frac{1}{5} ((1 - 2 \sec^{2} (u) + \sec^{4} (u)) u_{1} + C)$ в виде $\frac{1}{5} (u_{1} - 2 \sec^{2} (u) u_{1} + \sec^{4} (u) u_{1}) + C$ .

$\frac{1}{5} (u_{1} - 2 \sec^{2} (u) u_{1} + \sec^{4} (u) u_{1}) + C$

Этап 8.2

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $5 x$ .

$\frac{1}{5} (5 x - 2 \sec^{2} (u) (5 x) + \sec^{4} (u) (5 x)) + C$

Этап 8.3

Избавимся от скобок.

$\frac{1}{5} (5 x - 2 \sec^{2} (u) \cdot 5 x + \sec^{4} (u) \cdot 5 x) + C$