Математический анализ Примеры

$y = \sqrt{\frac{4 x^{2}}{2 - 2 x}}$

Этап 1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{\frac{4 x^{2}}{2 - 2 x}}$ в виде ${(\frac{4 x^{2}}{2 - 2 x})}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = {(\frac{4 x^{2}}{2 - 2 x})}^{\frac{1}{2}}$

Этап 2

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(\frac{4 x^{2}}{2 - 2 x})}^{\frac{1}{2}})$

Этап 3

Производная $y$ по $x$ равна $y'$ .

$y'$

Этап 4

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Сократим общий множитель $4$ и $2 - 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Вынесем множитель $2$ из $4 x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [{(\frac{2 (2 x^{2})}{2 - 2 x})}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 4.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{d}{d x} [{(\frac{2 (2 x^{2})}{2 (1) - 2 x})}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 4.1.2.2

Вынесем множитель $2$ из $- 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [{(\frac{2 (2 x^{2})}{2 (1) + 2 (- x)})}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 4.1.2.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (1) + 2 (- x)$ .

$\frac{d}{d x} [{(\frac{2 (2 x^{2})}{2 (1 - x)})}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 4.1.2.4

Сократим общий множитель.

$\frac{d}{d x} [{(\frac{2 (2 x^{2})}{2 (1 - x)})}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 4.1.2.5

Перепишем это выражение.

$\frac{d}{d x} [{(\frac{2 x^{2}}{1 - x})}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 4.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ и $g (x) = \frac{2 x^{2}}{1 - x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\frac{2 x^{2}}{1 - x}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2}}{1 - x}]$

Этап 4.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2}}{1 - x}]$

Этап 4.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $\frac{2 x^{2}}{1 - x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Вынесем множитель $2$ из $4 x^{2}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{2 (2 x^{2})}{2 - 2 x})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2}}{1 - x}]$

Этап 4.2.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{2 (2 x^{2})}{2 (1) - 2 x})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2}}{1 - x}]$

Этап 4.2.3.2.2

Вынесем множитель $2$ из $- 2 x$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{2 (2 x^{2})}{2 (1) + 2 (- x)})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2}}{1 - x}]$

Этап 4.2.3.2.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (1) + 2 (- x)$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{2 (2 x^{2})}{2 (1 - x)})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2}}{1 - x}]$

Этап 4.2.3.2.4

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{2} {(\frac{2 (2 x^{2})}{2 (1 - x)})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2}}{1 - x}]$

Этап 4.2.3.2.5

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{2} {(\frac{2 x^{2}}{1 - x})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2}}{1 - x}]$

Этап 4.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{2 x^{2}}{1 - x})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2}}{1 - x}]$

Этап 4.4

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{2 x^{2}}{1 - x})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2}}{1 - x}]$

Этап 4.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{2} {(\frac{2 x^{2}}{1 - x})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2}}{1 - x}]$

Этап 4.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{2 x^{2}}{1 - x})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2}}{1 - x}]$

Этап 4.6.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{2 x^{2}}{1 - x})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2}}{1 - x}]$

Этап 4.7

Продифференцируем, используя правило умножения на константу.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{2} {(\frac{2 x^{2}}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2}}{1 - x}]$

Этап 4.7.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{2 x^{2}}{1 - x}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{1 - x}]$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{2 x^{2}}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}} (2 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{1 - x}])$

Этап 4.7.3

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.3.1

Объединим $2$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{2} {(\frac{2 x^{2}}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{1 - x}]$

Этап 4.7.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.3.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2}{2} {(\frac{2 x^{2}}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{1 - x}]$

Этап 4.7.3.2.2

Перепишем это выражение.

$1 {(\frac{2 x^{2}}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{1 - x}]$

Этап 4.7.3.3

Умножим ${(\frac{2 x^{2}}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}}$ на $1$ .

${(\frac{2 x^{2}}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{1 - x}]$

Этап 4.8

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = 1 - x$ .

${(\frac{2 x^{2}}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 - x) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Этап 4.9

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.9.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

${(\frac{2 x^{2}}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 - x) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Этап 4.9.2

Перенесем $2$ влево от $1 - x$ .

${(\frac{2 x^{2}}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{2 \cdot (1 - x) x - x^{2} \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Этап 4.9.3

По правилу суммы производная $1 - x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

${(\frac{2 x^{2}}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{2 (1 - x) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x])}{{(1 - x)}^{2}}$

Этап 4.9.4

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

${(\frac{2 x^{2}}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{2 (1 - x) x - x^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- x])}{{(1 - x)}^{2}}$

Этап 4.9.5

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- x]$ .

${(\frac{2 x^{2}}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{2 (1 - x) x - x^{2} \frac{d}{d x} [- x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Этап 4.9.6

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

${(\frac{2 x^{2}}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{2 (1 - x) x - x^{2} (- \frac{d}{d x} [x])}{{(1 - x)}^{2}}$

Этап 4.9.7

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.9.7.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

${(\frac{2 x^{2}}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{2 (1 - x) x + 1 x^{2} \frac{d}{d x} [x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Этап 4.9.7.2

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

${(\frac{2 x^{2}}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{2 (1 - x) x + x^{2} \frac{d}{d x} [x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Этап 4.9.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

${(\frac{2 x^{2}}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{2 (1 - x) x + x^{2} \cdot 1}{{(1 - x)}^{2}}$

Этап 4.9.9

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

${(\frac{2 x^{2}}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{2 (1 - x) x + x^{2}}{{(1 - x)}^{2}}$

Этап 4.10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.10.1

Изменим знак экспоненты, переписав основание в виде обратной величины.

${(\frac{1 - x}{2 x^{2}})}^{\frac{1}{2}} \frac{2 (1 - x) x + x^{2}}{{(1 - x)}^{2}}$

Этап 4.10.2

Применим правило умножения к $\frac{1 - x}{2 x^{2}}$ .

$\frac{{(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{2 (1 - x) x + x^{2}}{{(1 - x)}^{2}}$

Этап 4.10.3

Применим правило умножения к $2 x^{2}$ .

$\frac{{(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}} {(x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{2 (1 - x) x + x^{2}}{{(1 - x)}^{2}}$

Этап 4.10.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{{(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}} {(x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{(2 \cdot 1 + 2 (- x)) x + x^{2}}{{(1 - x)}^{2}}$

Этап 4.10.5

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{{(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}} {(x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{2 \cdot 1 x + 2 (- x) x + x^{2}}{{(1 - x)}^{2}}$

Этап 4.10.6

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.10.6.1

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.10.6.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}} x^{2 (\frac{1}{2})}} \cdot \frac{2 \cdot 1 x + 2 (- x) x + x^{2}}{{(1 - x)}^{2}}$

Этап 4.10.6.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.10.6.1.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{{(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}} x^{2 (\frac{1}{2})}} \cdot \frac{2 \cdot 1 x + 2 (- x) x + x^{2}}{{(1 - x)}^{2}}$

Этап 4.10.6.1.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{{(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}} x^{1}} \cdot \frac{2 \cdot 1 x + 2 (- x) x + x^{2}}{{(1 - x)}^{2}}$

Этап 4.10.6.2

Упростим.

$\frac{{(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}} x} \cdot \frac{2 \cdot 1 x + 2 (- x) x + x^{2}}{{(1 - x)}^{2}}$

Этап 4.10.6.3

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{{(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}} x} \cdot \frac{2 x + 2 (- x) x + x^{2}}{{(1 - x)}^{2}}$

Этап 4.10.6.4

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{{(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}} x} \cdot \frac{2 x - 2 x \cdot x + x^{2}}{{(1 - x)}^{2}}$

Этап 4.10.6.5

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{{(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}} x} \cdot \frac{2 x - 2 (x^{1} x) + x^{2}}{{(1 - x)}^{2}}$

Этап 4.10.6.6

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{{(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}} x} \cdot \frac{2 x - 2 (x^{1} x^{1}) + x^{2}}{{(1 - x)}^{2}}$

Этап 4.10.6.7

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{{(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}} x} \cdot \frac{2 x - 2 x^{1 + 1} + x^{2}}{{(1 - x)}^{2}}$

Этап 4.10.6.8

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{{(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}} x} \cdot \frac{2 x - 2 x^{2} + x^{2}}{{(1 - x)}^{2}}$

Этап 4.10.6.9

Добавим $- 2 x^{2}$ и $x^{2}$ .

$\frac{{(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}} x} \cdot \frac{2 x - x^{2}}{{(1 - x)}^{2}}$

Этап 4.10.6.10

Умножим $\frac{{(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}} x}$ на $\frac{2 x - x^{2}}{{(1 - x)}^{2}}$ .

$\frac{{(1 - x)}^{\frac{1}{2}} (2 x - x^{2})}{2^{\frac{1}{2}} x {(1 - x)}^{2}}$

Этап 4.10.6.11

Перенесем ${(1 - x)}^{\frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{2 x - x^{2}}{2^{\frac{1}{2}} x {(1 - x)}^{2} {(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}}$

Этап 4.10.6.12

Умножим ${(1 - x)}^{2}$ на ${(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.10.6.12.1

Перенесем ${(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 x - x^{2}}{2^{\frac{1}{2}} x ({(1 - x)}^{- \frac{1}{2}} {(1 - x)}^{2})}$

Этап 4.10.6.12.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2 x - x^{2}}{2^{\frac{1}{2}} x {(1 - x)}^{- \frac{1}{2} + 2}}$

Этап 4.10.6.12.3

Чтобы записать $2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 x - x^{2}}{2^{\frac{1}{2}} x {(1 - x)}^{- \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}}}$

Этап 4.10.6.12.4

Объединим $2$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 x - x^{2}}{2^{\frac{1}{2}} x {(1 - x)}^{- \frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}}}$

Этап 4.10.6.12.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 x - x^{2}}{2^{\frac{1}{2}} x {(1 - x)}^{\frac{- 1 + 2 \cdot 2}{2}}}$

Этап 4.10.6.12.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.10.6.12.6.1

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{2 x - x^{2}}{2^{\frac{1}{2}} x {(1 - x)}^{\frac{- 1 + 4}{2}}}$

Этап 4.10.6.12.6.2

Добавим $- 1$ и $4$ .

$\frac{2 x - x^{2}}{2^{\frac{1}{2}} x {(1 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 4.10.7

Изменим порядок членов.

$\frac{- x^{2} + 2 x}{2^{\frac{1}{2}} x {(1 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 4.10.8

Вынесем множитель $x$ из $- x^{2} + 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.10.8.1

Вынесем множитель $x$ из $- x^{2}$ .

$\frac{x (- x) + 2 x}{2^{\frac{1}{2}} x {(1 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 4.10.8.2

Вынесем множитель $x$ из $2 x$ .

$\frac{x (- x) + x \cdot 2}{2^{\frac{1}{2}} x {(1 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 4.10.8.3

Вынесем множитель $x$ из $x (- x) + x \cdot 2$ .

$\frac{x (- x + 2)}{2^{\frac{1}{2}} x {(1 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 4.10.9

Сократим общий множитель.

$\frac{x (- x + 2)}{2^{\frac{1}{2}} x {(1 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 4.10.10

Перепишем это выражение.

$\frac{- x + 2}{2^{\frac{1}{2}} {(1 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 4.10.11

Вынесем множитель $- 1$ из $- x$ .

$\frac{- (x) + 2}{2^{\frac{1}{2}} {(1 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 4.10.12

Перепишем $2$ в виде $- 1 (- 2)$ .

$\frac{- (x) - 1 (- 2)}{2^{\frac{1}{2}} {(1 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 4.10.13

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x) - 1 (- 2)$ .

$\frac{- (x - 2)}{2^{\frac{1}{2}} {(1 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 4.10.14

Перепишем $- (x - 2)$ в виде $- 1 (x - 2)$ .

$\frac{- 1 (x - 2)}{2^{\frac{1}{2}} {(1 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 4.10.15

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{x - 2}{2^{\frac{1}{2}} {(1 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 5

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y' = - \frac{x - 2}{2^{\frac{1}{2}} {(1 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x - 2}{2^{\frac{1}{2}} {(1 - x)}^{\frac{3}{2}}}$