Математический анализ Примеры

${(e^{x} - 1)}^{2}$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = e^{x} - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $e^{x} - 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [e^{x} - 1]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [e^{x} - 1]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u$ на $e^{x} - 1$ .

$2 (e^{x} - 1) \frac{d}{d x} [e^{x} - 1]$

Этап 2

По правилу суммы производная $e^{x} - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$2 (e^{x} - 1) (\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Этап 3

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ имеет вид $a^{x} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$2 (e^{x} - 1) (e^{x} + \frac{d}{d x} [- 1])$

Этап 4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 (e^{x} - 1) (e^{x} + 0)$

Этап 4.2

Добавим $e^{x}$ и $0$ .

$2 (e^{x} - 1) e^{x}$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$(2 e^{x} + 2 \cdot - 1) e^{x}$

Этап 5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$2 e^{x} e^{x} + 2 \cdot - 1 e^{x}$

Этап 5.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Умножим $e^{x}$ на $e^{x}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1

Перенесем $e^{x}$ .

$2 (e^{x} e^{x}) + 2 \cdot - 1 e^{x}$

Этап 5.3.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2 e^{x + x} + 2 \cdot - 1 e^{x}$

Этап 5.3.1.3

Добавим $x$ и $x$ .

$2 e^{2 x} + 2 \cdot - 1 e^{x}$

Этап 5.3.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$2 e^{2 x} - 2 e^{x}$