Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 4} (1 + \sqrt[3]{x}) (2 - x^{2} + 3 x^{3})$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $4$ .

$lim_{x \to 4} 1 + \sqrt[3]{x} \cdot lim_{x \to 4} 2 - x^{2} + 3 x^{3}$

Этап 2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $4$ .

$(lim_{x \to 4} 1 + lim_{x \to 4} \sqrt[3]{x}) \cdot lim_{x \to 4} 2 - x^{2} + 3 x^{3}$

Этап 3

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $4$ .

$(1 + lim_{x \to 4} \sqrt[3]{x}) \cdot lim_{x \to 4} 2 - x^{2} + 3 x^{3}$

Этап 4

Внесем предел под знак радикала.

$(1 + \sqrt[3]{lim_{x \to 4} x}) \cdot lim_{x \to 4} 2 - x^{2} + 3 x^{3}$

Этап 5

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $4$ .

$(1 + \sqrt[3]{lim_{x \to 4} x}) \cdot (lim_{x \to 4} 2 - lim_{x \to 4} x^{2} + lim_{x \to 4} 3 x^{3})$

Этап 6

Найдем предел $2$ , который является константой по мере приближения $x$ к $4$ .

$(1 + \sqrt[3]{lim_{x \to 4} x}) \cdot (2 - lim_{x \to 4} x^{2} + lim_{x \to 4} 3 x^{3})$

Этап 7

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$(1 + \sqrt[3]{lim_{x \to 4} x}) \cdot (2 - {(lim_{x \to 4} x)}^{2} + lim_{x \to 4} 3 x^{3})$

Этап 8

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$(1 + \sqrt[3]{lim_{x \to 4} x}) \cdot (2 - {(lim_{x \to 4} x)}^{2} + 3 lim_{x \to 4} x^{3})$

Этап 9

Вынесем степень $3$ в выражении $x^{3}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$(1 + \sqrt[3]{lim_{x \to 4} x}) \cdot (2 - {(lim_{x \to 4} x)}^{2} + 3 {(lim_{x \to 4} x)}^{3})$

Этап 10

Найдем значения пределов, подставив значение $4$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $4$ для $x$ .

$(1 + \sqrt[3]{4}) \cdot (2 - {(lim_{x \to 4} x)}^{2} + 3 {(lim_{x \to 4} x)}^{3})$

Этап 10.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $4$ для $x$ .

$(1 + \sqrt[3]{4}) \cdot (2 - 4^{2} + 3 {(lim_{x \to 4} x)}^{3})$

Этап 10.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $4$ для $x$ .

$(1 + \sqrt[3]{4}) \cdot (2 - 4^{2} + 3 \cdot 4^{3})$

Этап 11

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1

Возведем $4$ в степень $2$ .

$(1 + \sqrt[3]{4}) \cdot (2 - 1 \cdot 16 + 3 \cdot 4^{3})$

Этап 11.1.2

Умножим $- 1$ на $16$ .

$(1 + \sqrt[3]{4}) \cdot (2 - 16 + 3 \cdot 4^{3})$

Этап 11.1.3

Возведем $4$ в степень $3$ .

$(1 + \sqrt[3]{4}) \cdot (2 - 16 + 3 \cdot 64)$

Этап 11.1.4

Умножим $3$ на $64$ .

$(1 + \sqrt[3]{4}) \cdot (2 - 16 + 192)$

Этап 11.2

Вычтем $16$ из $2$ .

$(1 + \sqrt[3]{4}) \cdot (- 14 + 192)$

Этап 11.3

Добавим $- 14$ и $192$ .

$(1 + \sqrt[3]{4}) \cdot 178$

Этап 11.4

Применим свойство дистрибутивности.

$1 \cdot 178 + \sqrt[3]{4} \cdot 178$

Этап 11.5

Умножим $178$ на $1$ .

$178 + \sqrt[3]{4} \cdot 178$

Этап 11.6

Перенесем $178$ влево от $\sqrt[3]{4}$ .

$178 + 178 \sqrt[3]{4}$

Этап 12

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$178 + 178 \sqrt[3]{4}$

Десятичная форма:

$460.55738725 \dots$