Математический анализ Примеры

$2 x \sqrt{x + 1}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения на константу.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x + 1}$ в виде ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [2 x {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 1.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$2 (x \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}] + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ и $g (x) = x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x + 1$ .

$2 (x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$2 (x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.3

Заменим все вхождения $u$ на $x + 1$ .

$2 (x (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$2 (x (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 5

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$2 (x (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 6

Объединим числители над общим знаменателем.

$2 (x (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$2 (x (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 7.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$2 (x (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 8

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$2 (x (\frac{1}{2} {(x + 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 8.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$2 (x (\frac{{(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 8.3

Перенесем ${(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 (x (\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 8.4

Объединим $\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ и $x$ .

$2 (\frac{x}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 1] + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 9

По правилу суммы производная $x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$2 (\frac{x}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 10

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 (\frac{x}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [1]) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 11

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 (\frac{x}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + 0) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 12

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Добавим $1$ и $0$ .

$2 (\frac{x}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1 + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 12.2

Умножим $\frac{x}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ на $1$ .

$2 (\frac{x}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 13

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 (\frac{x}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1)$

Этап 14

Умножим ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ на $1$ .

$2 (\frac{x}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}})$

Этап 15

Чтобы записать ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$2 (\frac{x}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}})$

Этап 16

Объединим ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ и $\frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$2 (\frac{x}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}})$

Этап 17

Объединим числители над общим знаменателем.

$2 \frac{x + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 18

Умножим ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ на ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.1

Перенесем ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$2 \frac{x + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 18.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2 \frac{x + {(x + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 18.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$2 \frac{x + {(x + 1)}^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 2}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 18.4

Добавим $1$ и $1$ .

$2 \frac{x + {(x + 1)}^{\frac{2}{2}} \cdot 2}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 18.5

Разделим $2$ на $2$ .

$2 \frac{x + {(x + 1)}^{1} \cdot 2}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 19

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.1

Упростим ${(x + 1)}^{1} \cdot 2$ .

$2 \frac{x + (x + 1) \cdot 2}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 19.2

Перенесем $2$ влево от $x + 1$ .

$2 \frac{x + 2 \cdot (x + 1)}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 20

Объединим $2$ и $\frac{x + 2 (x + 1)}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 (x + 2 (x + 1))}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 21

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (x + 2 (x + 1))}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 22

Перепишем это выражение.

$\frac{x + 2 (x + 1)}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 23

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 23.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x + 2 x + 2 \cdot 1}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 23.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 23.2.1

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{x + 2 x + 2}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 23.2.2

Добавим $x$ и $2 x$ .

$\frac{3 x + 2}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$