Математический анализ Примеры

$\int_{1}^{2} (\frac{12}{x^{2}} - 1) d x$

Этап 1

Избавимся от скобок.

$\int_{1}^{2} \frac{12}{x^{2}} - 1 d x$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{1}^{2} \frac{12}{x^{2}} d x + \int_{1}^{2} - 1 d x$

Этап 3

Поскольку $12$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $12$ из-под знака интеграла.

$12 \int_{1}^{2} \frac{1}{x^{2}} d x + \int_{1}^{2} - 1 d x$

Этап 4

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вынесем $x^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$12 \int_{1}^{2} {(x^{2})}^{- 1} d x + \int_{1}^{2} - 1 d x$

Этап 4.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$12 \int_{1}^{2} x^{2 \cdot - 1} d x + \int_{1}^{2} - 1 d x$

Этап 4.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$12 \int_{1}^{2} x^{- 2} d x + \int_{1}^{2} - 1 d x$

Этап 5

По правилу степени интеграл $x^{- 2}$ по $x$ имеет вид $- x^{- 1}$ .

$12 (- x^{- 1}]_{1}^{2}) + \int_{1}^{2} - 1 d x$

Этап 6

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$12 (- x^{- 1}]_{1}^{2}) + - x]_{1}^{2}$

Этап 7

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Найдем значение $- x^{- 1}$ в $2$ и в $1$ .

$12 ((- 2^{- 1}) + 1^{- 1}) + - x]_{1}^{2}$

Этап 7.2

Найдем значение $- x$ в $2$ и в $1$ .

$12 (- 2^{- 1} + 1^{- 1}) + - 1 \cdot 2 + 1 \cdot 1$

Этап 7.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$12 (- \frac{1}{2} + 1^{- 1}) - 1 \cdot 2 + 1 \cdot 1$

Этап 7.3.2

Единица в любой степени равна единице.

$12 (- \frac{1}{2} + 1) - 1 \cdot 2 + 1 \cdot 1$

Этап 7.3.3

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$12 (- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}) - 1 \cdot 2 + 1 \cdot 1$

Этап 7.3.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$12 \frac{- 1 + 2}{2} - 1 \cdot 2 + 1 \cdot 1$

Этап 7.3.5

Добавим $- 1$ и $2$ .

$12 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 2 + 1 \cdot 1$

Этап 7.3.6

Объединим $12$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{12}{2} - 1 \cdot 2 + 1 \cdot 1$

Этап 7.3.7

Сократим общий множитель $12$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.7.1

Вынесем множитель $2$ из $12$ .

$\frac{2 \cdot 6}{2} - 1 \cdot 2 + 1 \cdot 1$

Этап 7.3.7.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.7.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 \cdot 6}{2 (1)} - 1 \cdot 2 + 1 \cdot 1$

Этап 7.3.7.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot 6}{2 \cdot 1} - 1 \cdot 2 + 1 \cdot 1$

Этап 7.3.7.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{6}{1} - 1 \cdot 2 + 1 \cdot 1$

Этап 7.3.7.2.4

Разделим $6$ на $1$ .

$6 - 1 \cdot 2 + 1 \cdot 1$

Этап 7.3.8

Умножим $- 1$ на $2$ .

$6 - 2 + 1 \cdot 1$

Этап 7.3.9

Умножим $1$ на $1$ .

$6 - 2 + 1$

Этап 7.3.10

Добавим $- 2$ и $1$ .

$6 - 1$

Этап 7.3.11

Вычтем $1$ из $6$ .

$5$

Этап 8