Математический анализ Примеры

$\int_{- 1}^{0} (y + \sqrt{y + 2}) d y$

Этап 1

Избавимся от скобок.

$\int_{- 1}^{0} y + \sqrt{y + 2} d y$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{- 1}^{0} y d y + \int_{- 1}^{0} \sqrt{y + 2} d y$

Этап 3

По правилу степени интеграл $y$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2}]_{- 1}^{0} + \int_{- 1}^{0} \sqrt{y + 2} d y$

Этап 4

Пусть $u = y + 2$ . Тогда $d u = d y$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Пусть $u = y + 2$ . Найдем $\frac{d u}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Дифференцируем $y + 2$ .

$\frac{d}{d y} [y + 2]$

Этап 4.1.2

По правилу суммы производная $y + 2$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2]$

Этап 4.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [2]$

Этап 4.1.4

Поскольку $2$ является константой относительно $y$ , производная $2$ относительно $y$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 4.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 4.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $y$ в $u = y + 2$ .

$u_{lower} = - 1 + 2$

Этап 4.3

Добавим $- 1$ и $2$ .

$u_{lower} = 1$

Этап 4.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $y$ в $u = y + 2$ .

$u_{upper} = 0 + 2$

Этап 4.5

Добавим $0$ и $2$ .

$u_{upper} = 2$

Этап 4.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

Этап 4.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$\frac{1}{2} y^{2}]_{- 1}^{0} + \int_{1}^{2} \sqrt{u} d u$

Этап 5

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{u}$ в виде $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} y^{2}]_{- 1}^{0} + \int_{1}^{2} u^{\frac{1}{2}} d u$

Этап 6

По правилу степени интеграл $u^{\frac{1}{2}}$ по $u$ имеет вид $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{2} y^{2}]_{- 1}^{0} + \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{2}$

Этап 7

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Найдем значение $\frac{1}{2} y^{2}$ в $0$ и в $- 1$ .

$(\frac{1}{2} \cdot 0^{2}) - \frac{1}{2} {(- 1)}^{2} + \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{2}$

Этап 7.2

Найдем значение $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ в $2$ и в $1$ .

$(\frac{1}{2} \cdot 0^{2}) - \frac{1}{2} {(- 1)}^{2} + (\frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Этап 7.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot 0 - \frac{1}{2} {(- 1)}^{2} + (\frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Этап 7.3.2

Умножим $\frac{1}{2}$ на $0$ .

$0 - \frac{1}{2} {(- 1)}^{2} + (\frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Этап 7.3.3

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$0 - \frac{1}{2} \cdot 1 + (\frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Этап 7.3.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$0 - \frac{1}{2} + (\frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Этап 7.3.5

Вычтем $\frac{1}{2}$ из $0$ .

$- \frac{1}{2} + (\frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Этап 7.3.6

Объединим $\frac{2}{3}$ и $2^{\frac{3}{2}}$ .

$- \frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Этап 7.3.7

Умножим $2$ на $2^{\frac{3}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.7.1

Умножим $2$ на $2^{\frac{3}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.7.1.1

Возведем $2$ в степень $1$ .

$- \frac{1}{2} + \frac{2^{1} \cdot 2^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Этап 7.3.7.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- \frac{1}{2} + \frac{2^{1 + \frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Этап 7.3.7.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$- \frac{1}{2} + \frac{2^{\frac{2}{2} + \frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Этап 7.3.7.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \frac{1}{2} + \frac{2^{\frac{2 + 3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Этап 7.3.7.4

Добавим $2$ и $3$ .

$- \frac{1}{2} + \frac{2^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Этап 7.3.8

Единица в любой степени равна единице.

$- \frac{1}{2} + \frac{2^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1$

Этап 7.3.9

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- \frac{1}{2} + \frac{2^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{2}{3}$

Этап 7.3.10

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \frac{1}{2} + \frac{2^{\frac{5}{2}} - 2}{3}$

Этап 7.3.11

Чтобы записать $- \frac{1}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{2^{\frac{5}{2}} - 2}{3}$

Этап 7.3.12

Чтобы записать $\frac{2^{\frac{5}{2}} - 2}{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{2^{\frac{5}{2}} - 2}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Этап 7.3.13

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $6$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.13.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{3}{2 \cdot 3} + \frac{2^{\frac{5}{2}} - 2}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Этап 7.3.13.2

Умножим $2$ на $3$ .

$- \frac{3}{6} + \frac{2^{\frac{5}{2}} - 2}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Этап 7.3.13.3

Умножим $\frac{2^{\frac{5}{2}} - 2}{3}$ на $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{3}{6} + \frac{(2^{\frac{5}{2}} - 2) \cdot 2}{3 \cdot 2}$

Этап 7.3.13.4

Умножим $3$ на $2$ .

$- \frac{3}{6} + \frac{(2^{\frac{5}{2}} - 2) \cdot 2}{6}$

Этап 7.3.14

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 3 + (2^{\frac{5}{2}} - 2) \cdot 2}{6}$

Этап 7.3.15

Перенесем $2$ влево от $2^{\frac{5}{2}} - 2$ .

$\frac{- 3 + 2 (2^{\frac{5}{2}} - 2)}{6}$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Перепишем $- 3$ в виде $- 1 (3)$ .

$\frac{- 1 (3) + 2 (2^{\frac{5}{2}} - 2)}{6}$

Этап 8.2

Вынесем множитель $- 1$ из $2 (2^{\frac{5}{2}} - 2)$ .

$\frac{- 1 (3) - (- 2 (2^{\frac{5}{2}} - 2))}{6}$

Этап 8.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (3) - (- 2 (2^{\frac{5}{2}} - 2))$ .

$\frac{- 1 (3 - 2 (2^{\frac{5}{2}} - 2))}{6}$

Этап 8.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{3 - 2 (2^{\frac{5}{2}} - 2)}{6}$

Этап 9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- \frac{3 - 2 \cdot 2^{\frac{5}{2}} - 2 \cdot - 2}{6}$

Этап 9.2

Умножим $- 2 \cdot 2^{\frac{5}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Вынесем за скобки отрицательное значение.

$- \frac{3 - (2 \cdot 2^{\frac{5}{2}}) - 2 \cdot - 2}{6}$

Этап 9.2.2

Возведем $2$ в степень $1$ .

$- \frac{3 - (2^{1} \cdot 2^{\frac{5}{2}}) - 2 \cdot - 2}{6}$

Этап 9.2.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- \frac{3 - 2^{1 + \frac{5}{2}} - 2 \cdot - 2}{6}$

Этап 9.2.4

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$- \frac{3 - 2^{\frac{2}{2} + \frac{5}{2}} - 2 \cdot - 2}{6}$

Этап 9.2.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \frac{3 - 2^{\frac{2 + 5}{2}} - 2 \cdot - 2}{6}$

Этап 9.2.6

Добавим $2$ и $5$ .

$- \frac{3 - 2^{\frac{7}{2}} - 2 \cdot - 2}{6}$

Этап 9.3

Умножим $- 2$ на $- 2$ .

$- \frac{3 - 2^{\frac{7}{2}} + 4}{6}$

Этап 9.4

Добавим $3$ и $4$ .

$- \frac{7 - 2^{\frac{7}{2}}}{6}$

Этап 10

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$- \frac{7 - 2^{\frac{7}{2}}}{6}$

Десятичная форма:

$0.71895141 \dots$

Этап 11