Математический анализ Примеры

$x^{3} + 2 x + \frac{1}{π} \sin (π x)$

Этап 1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $x^{3} + 2 x + \frac{1}{π} \sin (π x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{π} \sin (π x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{π} \sin (π x)]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{π} \sin (π x)]$

Этап 2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{π} \sin (π x)]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 x^{2} + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{π} \sin (π x)]$

Этап 2.3

Умножим $2$ на $1$ .

$3 x^{2} + 2 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{π} \sin (π x)]$

Этап 3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{1}{π} \sin (π x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $\frac{1}{π}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{1}{π} \sin (π x)$ по $x$ равна $\frac{1}{π} \frac{d}{d x} [\sin (π x)]$ .

$3 x^{2} + 2 + \frac{1}{π} \frac{d}{d x} [\sin (π x)]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \sin (x)$ и $g (x) = π x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $π x$ .

$3 x^{2} + 2 + \frac{1}{π} (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [π x])$

Этап 3.2.2

Производная $\sin (u)$ по $u$ равна $\cos (u)$ .

$3 x^{2} + 2 + \frac{1}{π} (\cos (u) \frac{d}{d x} [π x])$

Этап 3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $π x$ .

$3 x^{2} + 2 + \frac{1}{π} (\cos (π x) \frac{d}{d x} [π x])$

Этап 3.3

Поскольку $π$ является константой относительно $x$ , производная $π x$ по $x$ равна $π \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} + 2 + \frac{1}{π} (\cos (π x) (π \frac{d}{d x} [x]))$

Этап 3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 x^{2} + 2 + \frac{1}{π} (\cos (π x) (π \cdot 1))$

Этап 3.5

Умножим $π$ на $1$ .

$3 x^{2} + 2 + \frac{1}{π} (\cos (π x) π)$

Этап 3.6

Объединим $\cos (π x)$ и $\frac{1}{π}$ .

$3 x^{2} + 2 + \frac{\cos (π x)}{π} π$

Этап 3.7

Объединим $\frac{\cos (π x)}{π}$ и $π$ .

$3 x^{2} + 2 + \frac{\cos (π x) π}{π}$

Этап 3.8

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Сократим общий множитель.

$3 x^{2} + 2 + \frac{\cos (π x) π}{π}$

Этап 3.8.2

Разделим $\cos (π x)$ на $1$ .

$3 x^{2} + 2 + \cos (π x)$