Математический анализ Примеры

$2 \int_{0}^{1} x^{3} \sqrt{1 - x^{2}} d x$

Этап 1

Пусть $x = \sin (t)$ , где $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Тогда $d x = \cos (t) d t$ . Заметим, что поскольку $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , выражение $\cos (t)$ положительно.

$2 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{3} (t) \sqrt{1 - \sin^{2} (t)} \cos (t) d t$

Этап 2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим $\sqrt{1 - \sin^{2} (t)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Применим формулу Пифагора.

$2 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{3} (t) \sqrt{\cos^{2} (t)} \cos (t) d t$

Этап 2.1.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$2 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{3} (t) \cos (t) \cos (t) d t$

Этап 2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Возведем $\cos (t)$ в степень $1$ .

$2 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{3} (t) (\cos^{1} (t) \cos (t)) d t$

Этап 2.2.2

Возведем $\cos (t)$ в степень $1$ .

$2 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{3} (t) (\cos^{1} (t) \cos^{1} (t)) d t$

Этап 2.2.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{3} (t) {\cos (t)}^{1 + 1} d t$

Этап 2.2.4

Добавим $1$ и $1$ .

$2 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{3} (t) \cos^{2} (t) d t$

Этап 3

Вынесем $\sin^{2} (t)$ за скобки.

$2 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{2} (t) \sin (t) \cos^{2} (t) d t$

Этап 4

Используя формулы Пифагора, запишем $\sin^{2} (t)$ в виде $1 - \cos^{2} (t)$ .

$2 \int_{0}^{\frac{π}{2}} (1 - \cos^{2} (t)) \sin (t) \cos^{2} (t) d t$

Этап 5

Пусть $u = \cos (t)$ . Тогда $d u = - \sin (t) d t$ , следовательно $- \frac{1}{\sin (t)} d u = d t$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть $u = \cos (t)$ . Найдем $\frac{d u}{d t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Дифференцируем $\cos (t)$ .

$\frac{d}{d t} [\cos (t)]$

Этап 5.1.2

Производная $\cos (t)$ по $t$ равна $- \sin (t)$ .

$- \sin (t)$

Этап 5.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $t$ в $u = \cos (t)$ .

$u_{lower} = \cos (0)$

Этап 5.3

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$u_{lower} = 1$

Этап 5.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $t$ в $u = \cos (t)$ .

$u_{upper} = \cos (\frac{π}{2})$

Этап 5.5

Точное значение $\cos (\frac{π}{2})$ : $0$ .

$u_{upper} = 0$

Этап 5.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 0$

Этап 5.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$2 \int_{1}^{0} (- 1 + u^{2}) u^{2} d u$

Этап 6

Умножим $(- 1 + u^{2}) u^{2}$ .

$2 \int_{1}^{0} - 1 u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Перепишем $- 1 u^{2}$ в виде $- u^{2}$ .

$2 \int_{1}^{0} - u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

Этап 7.2

Умножим $u^{2}$ на $u^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2 \int_{1}^{0} - u^{2} + u^{2 + 2} d u$

Этап 7.2.2

Добавим $2$ и $2$ .

$2 \int_{1}^{0} - u^{2} + u^{4} d u$

Этап 8

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$2 (\int_{1}^{0} - u^{2} d u + \int_{1}^{0} u^{4} d u)$

Этап 9

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$2 (- \int_{1}^{0} u^{2} d u + \int_{1}^{0} u^{4} d u)$

Этап 10

По правилу степени интеграл $u^{2}$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$2 (- (\frac{1}{3} u^{3}]_{1}^{0}) + \int_{1}^{0} u^{4} d u)$

Этап 11

Объединим $\frac{1}{3}$ и $u^{3}$ .

$2 (- (\frac{u^{3}}{3}]_{1}^{0}) + \int_{1}^{0} u^{4} d u)$

Этап 12

По правилу степени интеграл $u^{4}$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$2 (- (\frac{u^{3}}{3}]_{1}^{0}) + \frac{1}{5} u^{5}]_{1}^{0})$

Этап 13

Объединим $\frac{1}{5}$ и $u^{5}$ .

$2 (- (\frac{u^{3}}{3}]_{1}^{0}) + \frac{u^{5}}{5}]_{1}^{0})$

Этап 14

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Найдем значение $\frac{u^{3}}{3}$ в $0$ и в $1$ .

$2 (- ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}) + \frac{u^{5}}{5}]_{1}^{0})$

Этап 14.2

Найдем значение $\frac{u^{5}}{5}$ в $0$ и в $1$ .

$2 (- (\frac{0^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + \frac{0^{5}}{5} - \frac{1^{5}}{5})$

Этап 14.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$2 (- (\frac{0}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + \frac{0^{5}}{5} - \frac{1^{5}}{5})$

Этап 14.3.2

Сократим общий множитель $0$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.3.2.1

Вынесем множитель $3$ из $0$ .

$2 (- (\frac{3 (0)}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + \frac{0^{5}}{5} - \frac{1^{5}}{5})$

Этап 14.3.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.3.2.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$2 (- (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{1^{3}}{3}) + \frac{0^{5}}{5} - \frac{1^{5}}{5})$

Этап 14.3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$2 (- (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{1^{3}}{3}) + \frac{0^{5}}{5} - \frac{1^{5}}{5})$

Этап 14.3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$2 (- (\frac{0}{1} - \frac{1^{3}}{3}) + \frac{0^{5}}{5} - \frac{1^{5}}{5})$

Этап 14.3.2.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$2 (- (0 - \frac{1^{3}}{3}) + \frac{0^{5}}{5} - \frac{1^{5}}{5})$

Этап 14.3.3

Единица в любой степени равна единице.

$2 (- (0 - \frac{1}{3}) + \frac{0^{5}}{5} - \frac{1^{5}}{5})$

Этап 14.3.4

Вычтем $\frac{1}{3}$ из $0$ .

$2 (- - \frac{1}{3} + \frac{0^{5}}{5} - \frac{1^{5}}{5})$

Этап 14.3.5

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$2 (1 (\frac{1}{3}) + \frac{0^{5}}{5} - \frac{1^{5}}{5})$

Этап 14.3.6

Умножим $\frac{1}{3}$ на $1$ .

$2 (\frac{1}{3} + \frac{0^{5}}{5} - \frac{1^{5}}{5})$

Этап 14.3.7

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$2 (\frac{1}{3} + \frac{0}{5} - \frac{1^{5}}{5})$

Этап 14.3.8

Сократим общий множитель $0$ и $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.3.8.1

Вынесем множитель $5$ из $0$ .

$2 (\frac{1}{3} + \frac{5 (0)}{5} - \frac{1^{5}}{5})$

Этап 14.3.8.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.3.8.2.1

Вынесем множитель $5$ из $5$ .

$2 (\frac{1}{3} + \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1} - \frac{1^{5}}{5})$

Этап 14.3.8.2.2

Сократим общий множитель.

$2 (\frac{1}{3} + \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1} - \frac{1^{5}}{5})$

Этап 14.3.8.2.3

Перепишем это выражение.

$2 (\frac{1}{3} + \frac{0}{1} - \frac{1^{5}}{5})$

Этап 14.3.8.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$2 (\frac{1}{3} + 0 - \frac{1^{5}}{5})$

Этап 14.3.9

Единица в любой степени равна единице.

$2 (\frac{1}{3} + 0 - \frac{1}{5})$

Этап 14.3.10

Вычтем $\frac{1}{5}$ из $0$ .

$2 (\frac{1}{3} - \frac{1}{5})$

Этап 14.3.11

Чтобы записать $\frac{1}{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$2 (\frac{1}{3} \cdot \frac{5}{5} - \frac{1}{5})$

Этап 14.3.12

Чтобы записать $- \frac{1}{5}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$2 (\frac{1}{3} \cdot \frac{5}{5} - \frac{1}{5} \cdot \frac{3}{3})$

Этап 14.3.13

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $15$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.3.13.1

Умножим $\frac{1}{3}$ на $\frac{5}{5}$ .

$2 (\frac{5}{3 \cdot 5} - \frac{1}{5} \cdot \frac{3}{3})$

Этап 14.3.13.2

Умножим $3$ на $5$ .

$2 (\frac{5}{15} - \frac{1}{5} \cdot \frac{3}{3})$

Этап 14.3.13.3

Умножим $\frac{1}{5}$ на $\frac{3}{3}$ .

$2 (\frac{5}{15} - \frac{3}{5 \cdot 3})$

Этап 14.3.13.4

Умножим $5$ на $3$ .

$2 (\frac{5}{15} - \frac{3}{15})$

Этап 14.3.14

Объединим числители над общим знаменателем.

$2 \frac{5 - 3}{15}$

Этап 14.3.15

Вычтем $3$ из $5$ .

$2 (\frac{2}{15})$

Этап 14.3.16

Объединим $2$ и $\frac{2}{15}$ .

$\frac{2 \cdot 2}{15}$

Этап 14.3.17

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{4}{15}$

Этап 15

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{4}{15}$

Десятичная форма:

$0.2\overline{6}$

Этап 16