Математический анализ Примеры

Let $h (x) = \frac{e^{2 x}}{x - 3}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = e^{2 x}$ и $g (x) = x - 3$ .

$\frac{(x - 3) \frac{d}{d x} [e^{2 x}] - e^{2 x} \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Этап 1.1.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 x$ .

$\frac{(x - 3) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x]) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$\frac{(x - 3) (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x]) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Этап 1.1.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $2 x$ .

$\frac{(x - 3) (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Этап 1.1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x - 3) e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{(x - 3) e^{2 x} (2 \cdot 1) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Этап 1.1.3.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.1

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{(x - 3) e^{2 x} \cdot 2 - e^{2 x} \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Этап 1.1.3.3.2

Перенесем $2$ влево от $(x - 3) e^{2 x}$ .

$\frac{2 \cdot ((x - 3) e^{2 x}) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Этап 1.1.3.4

По правилу суммы производная $x - 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{2 (x - 3) e^{2 x} - e^{2 x} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(x - 3)}^{2}}$

Этап 1.1.3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{2 (x - 3) e^{2 x} - e^{2 x} (1 + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(x - 3)}^{2}}$

Этап 1.1.3.6

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{2 (x - 3) e^{2 x} - e^{2 x} (1 + 0)}{{(x - 3)}^{2}}$

Этап 1.1.3.7

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.7.1

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{2 (x - 3) e^{2 x} - e^{2 x} \cdot 1}{{(x - 3)}^{2}}$

Этап 1.1.3.7.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{2 (x - 3) e^{2 x} - e^{2 x}}{{(x - 3)}^{2}}$

Этап 1.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(2 x + 2 \cdot - 3) e^{2 x} - e^{2 x}}{{(x - 3)}^{2}}$

Этап 1.1.4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 x e^{2 x} + 2 \cdot - 3 e^{2 x} - e^{2 x}}{{(x - 3)}^{2}}$

Этап 1.1.4.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.3.1

Умножим $2$ на $- 3$ .

$\frac{2 x e^{2 x} - 6 e^{2 x} - e^{2 x}}{{(x - 3)}^{2}}$

Этап 1.1.4.3.2

Вычтем $e^{2 x}$ из $- 6 e^{2 x}$ .

$\frac{2 x e^{2 x} - 7 e^{2 x}}{{(x - 3)}^{2}}$

Этап 1.1.4.4

Изменим порядок членов.

$\frac{2 e^{2 x} x - 7 e^{2 x}}{{(x - 3)}^{2}}$

Этап 1.1.4.5

Вынесем множитель $e^{2 x}$ из $2 e^{2 x} x - 7 e^{2 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.5.1

Вынесем множитель $e^{2 x}$ из $2 e^{2 x} x$ .

$\frac{e^{2 x} (2 x) - 7 e^{2 x}}{{(x - 3)}^{2}}$

Этап 1.1.4.5.2

Вынесем множитель $e^{2 x}$ из $- 7 e^{2 x}$ .

$\frac{e^{2 x} (2 x) + e^{2 x} \cdot - 7}{{(x - 3)}^{2}}$

Этап 1.1.4.5.3

Вынесем множитель $e^{2 x}$ из $e^{2 x} (2 x) + e^{2 x} \cdot - 7$ .

$f' (x) = \frac{e^{2 x} (2 x - 7)}{{(x - 3)}^{2}}$

Этап 1.2

Первая производная $h (x)$ по $x$ равна $\frac{e^{2 x} (2 x - 7)}{{(x - 3)}^{2}}$ .

$\frac{e^{2 x} (2 x - 7)}{{(x - 3)}^{2}}$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{e^{2 x} (2 x - 7)}{{(x - 3)}^{2}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$\frac{e^{2 x} (2 x - 7)}{{(x - 3)}^{2}} = 0$

Этап 2.2

Приравняем числитель к нулю.

$e^{2 x} (2 x - 7) = 0$

Этап 2.3

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$e^{2 x} = 0$

$2 x - 7 = 0$

Этап 2.3.2

Приравняем $e^{2 x}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Приравняем $e^{2 x}$ к $0$ .

$e^{2 x} = 0$

Этап 2.3.2.2

Решим $e^{2 x} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.1

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{2 x}) = \ln (0)$

Этап 2.3.2.2.2

Уравнение невозможно решить, так как выражение $\ln (0)$ не определено.

Неопределенные

Этап 2.3.2.2.3

Нет решения для $e^{2 x} = 0$

Нет решения

Этап 2.3.3

Приравняем $2 x - 7$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Приравняем $2 x - 7$ к $0$ .

$2 x - 7 = 0$

Этап 2.3.3.2

Решим $2 x - 7 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.1

Добавим $7$ к обеим частям уравнения.

$2 x = 7$

Этап 2.3.3.2.2

Разделим каждый член $2 x = 7$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.2.1

Разделим каждый член $2 x = 7$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{7}{2}$

Этап 2.3.3.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{7}{2}$

Этап 2.3.3.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{7}{2}$

Этап 2.3.4

Окончательным решением являются все значения, при которых $e^{2 x} (2 x - 7) = 0$ верно.

$x = \frac{7}{2}$

Этап 3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Зададим знаменатель в $\frac{e^{2 x} (2 x - 7)}{{(x - 3)}^{2}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

${(x - 3)}^{2} = 0$

Этап 3.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Приравняем $x - 3$ к $0$ .

$x - 3 = 0$

Этап 3.2.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$x = 3$

Этап 4

Вычислим $\frac{e^{2 x}}{x - 3}$ для каждого значения $x$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем значение в $x = \frac{7}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Подставим $\frac{7}{2}$ вместо $x$ .

$\frac{e^{2 (\frac{7}{2})}}{(\frac{7}{2}) - 3}$

Этап 4.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{e^{2 (\frac{7}{2})}}{\frac{7}{2} - 3}$

Этап 4.1.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{e^{7}}{\frac{7}{2} - 3}$

Этап 4.1.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.2.1

Чтобы записать $- 3$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{e^{7}}{\frac{7}{2} - 3 \cdot \frac{2}{2}}$

Этап 4.1.2.2.2

Объединим $- 3$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{e^{7}}{\frac{7}{2} + \frac{- 3 \cdot 2}{2}}$

Этап 4.1.2.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{e^{7}}{\frac{7 - 3 \cdot 2}{2}}$

Этап 4.1.2.2.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.2.4.1

Умножим $- 3$ на $2$ .

$\frac{e^{7}}{\frac{7 - 6}{2}}$

Этап 4.1.2.2.4.2

Вычтем $6$ из $7$ .

$\frac{e^{7}}{\frac{1}{2}}$

Этап 4.1.2.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$e^{7} \cdot 2$

Этап 4.1.2.4

Перенесем $2$ влево от $e^{7}$ .

$2 e^{7}$

Этап 4.2

Найдем значение в $x = 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Подставим $3$ вместо $x$ .

$\frac{e^{2 (3)}}{(3) - 3}$

Этап 4.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Вычтем $3$ из $3$ .

$\frac{e^{2 (3)}}{0}$

Этап 4.2.2.2

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

Этап 4.3

Перечислим все точки.

$(\frac{7}{2}, 2 e^{7})$

Этап 5