Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{\infty} x e^{- x} d x$

Этап 1

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$x (- e^{- x})]_{0}^{\infty} - lim_{t \to \infty} e^{- t} - 1 \cdot 1$

Этап 2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$x (- e^{- x})]_{0}^{\infty} - lim_{t \to \infty} e^{- t} - 1$

Этап 3

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем.

$\int_{0}^{\infty} x e^{- x} d x$

Этап 3.2

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = x$ и $d v = e^{- x}$ .

$x (- e^{- x})]_{0}^{\infty} - \int_{0}^{\infty} - e^{- x} d x$

Этап 3.3

Запишем интеграл в виде предела, когда $t$ стремится к $\infty$ .

$x (- e^{- x})]_{0}^{\infty} - lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} - e^{- x} d x$

Этап 3.4

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$x (- e^{- x})]_{0}^{\infty} - lim_{t \to \infty} - \int_{0}^{t} e^{- x} d x$

Этап 3.5

Пусть $u = - x$ . Тогда $d u = - d x$ , следовательно $- d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Пусть $u = - x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.1

Дифференцируем $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Этап 3.5.1.2

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.5.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Этап 3.5.1.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- 1$

Этап 3.5.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = - x$ .

$u_{lower} = - 0$

Этап 3.5.3

Умножим $- 1$ на $0$ .

$u_{lower} = 0$

Этап 3.5.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = - x$ .

$u_{upper} = - t$

Этап 3.5.5

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - t$

Этап 3.5.6

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$x (- e^{- x})]_{0}^{\infty} - lim_{t \to \infty} - \int_{0}^{- t} - e^{u} d u$

Этап 3.6

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$x (- e^{- x})]_{0}^{\infty} - lim_{t \to \infty} - - \int_{0}^{- t} e^{u} d u$

Этап 3.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$x (- e^{- x})]_{0}^{\infty} - lim_{t \to \infty} 1 \int_{0}^{- t} e^{u} d u$

Этап 3.7.2

Умножим $\int_{0}^{- t} e^{u} d u$ на $1$ .

$x (- e^{- x})]_{0}^{\infty} - lim_{t \to \infty} \int_{0}^{- t} e^{u} d u$

Этап 3.8

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$x (- e^{- x})]_{0}^{\infty} - lim_{t \to \infty} e^{u}]_{0}^{- t}$

Этап 3.9

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.1.1

Найдем значение $e^{u}$ в $- t$ и в $0$ .

$x (- e^{- x})]_{0}^{\infty} - lim_{t \to \infty} (e^{- t}) - e^{0}$

Этап 3.9.1.2

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$x (- e^{- x})]_{0}^{\infty} - lim_{t \to \infty} e^{- t} - 1 \cdot 1$

Этап 3.9.1.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$x (- e^{- x})]_{0}^{\infty} - lim_{t \to \infty} e^{- t} - 1$

Этап 3.9.2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $t$ к $\infty$ .

$x \cdot - 1 e^{- x}]_{0}^{\infty} - (lim_{t \to \infty} e^{- t} - lim_{t \to \infty} 1)$

Этап 3.10

Поскольку показатель степени $- t$ стремится к $- \infty$ , величина $e^{- t}$ стремится к $0$ .

$x \cdot - 1 e^{- x}]_{0}^{\infty} - (0 - lim_{t \to \infty} 1)$

Этап 3.11

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.1

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $t$ к $\infty$ .

$x \cdot - 1 e^{- x}]_{0}^{\infty} - (0 - 1 \cdot 1)$

Этап 3.11.2

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.2.1

Вычтем $1 \cdot 1$ из $0$ .

$x \cdot - 1 e^{- x}]_{0}^{\infty} - (- 1 \cdot 1)$

Этап 3.11.2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.2.2.1

Перенесем $- 1$ влево от $x$ .

$- 1 \cdot x e^{- x}]_{0}^{\infty} - (- 1 \cdot 1)$

Этап 3.11.2.2.2

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$- x e^{- x}]_{0}^{\infty} - (- 1 \cdot 1)$

Этап 3.11.2.2.3

Умножим $- (- 1 \cdot 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.2.2.3.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- x e^{- x}]_{0}^{\infty} - - 1$

Этап 3.11.2.2.3.2

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$- x e^{- x}]_{0}^{\infty} + 1$