Математический анализ Примеры

$\int x {(x + 2)}^{4} d x$

Этап 1

Этот интеграл не удалось вычислить с помощью интегрирования по частям. Mathway использует другой способ.

Этап 2

Пусть $u = x + 2$ . Тогда $d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть $u = x + 2$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Дифференцируем $x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [x + 2]$

Этап 2.1.2

По правилу суммы производная $x + 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 2.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 2.1.4

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 2.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 2.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int (u - 2) u^{4} d u$

Этап 3

Умножим $(u - 2) u^{4}$ .

$\int u \cdot u^{4} - 2 u^{4} d u$

Этап 4

Умножим $u$ на $u^{4}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим $u$ на $u^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Возведем $u$ в степень $1$ .

$\int u^{1} u^{4} - 2 u^{4} d u$

Этап 4.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int u^{1 + 4} - 2 u^{4} d u$

Этап 4.2

Добавим $1$ и $4$ .

$\int u^{5} - 2 u^{4} d u$

Этап 5

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int u^{5} d u + \int - 2 u^{4} d u$

Этап 6

По правилу степени интеграл $u^{5}$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{6} u^{6}$ .

$\frac{1}{6} u^{6} + C + \int - 2 u^{4} d u$

Этап 7

Поскольку $- 2$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 2$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{6} u^{6} + C - 2 \int u^{4} d u$

Этап 8

По правилу степени интеграл $u^{4}$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$\frac{1}{6} u^{6} + C - 2 (\frac{1}{5} u^{5} + C)$

Этап 9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим.

$\frac{1}{6} u^{6} - 2 (\frac{1}{5}) u^{5} + C$

Этап 9.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{5}$ .

$\frac{1}{6} u^{6} + \frac{- 2}{5} u^{5} + C$

Этап 9.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{6} u^{6} - \frac{2}{5} u^{5} + C$

Этап 10

Заменим все вхождения $u$ на $x + 2$ .

$\frac{1}{6} {(x + 2)}^{6} - \frac{2}{5} {(x + 2)}^{5} + C$