Математический анализ Примеры

$\int \frac{(2 x^{2} + 4 x - 3)}{x^{2}} d x$

Этап 1

Вынесем $x^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\int (2 x^{2} + 4 x - 3) {(x^{2})}^{- 1} d x$

Этап 2

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (2 x^{2} + 4 x - 3) x^{2 \cdot - 1} d x$

Этап 2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\int (2 x^{2} + 4 x - 3) x^{- 2} d x$

Этап 3

Развернем $(2 x^{2} + 4 x - 3) x^{- 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\int (2 x^{2} + 4 x) x^{- 2} - 3 x^{- 2} d x$

Этап 3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\int 2 x^{2} x^{- 2} + 4 x \cdot x^{- 2} - 3 x^{- 2} d x$

Этап 3.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int 2 x^{2 - 2} + 4 x \cdot x^{- 2} - 3 x^{- 2} d x$

Этап 3.4

Вычтем $2$ из $2$ .

$\int 2 x^{0} + 4 x \cdot x^{- 2} - 3 x^{- 2} d x$

Этап 3.5

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$\int 2 \cdot 1 + 4 x \cdot x^{- 2} - 3 x^{- 2} d x$

Этап 3.6

Умножим $2$ на $1$ .

$\int 2 + 4 x \cdot x^{- 2} - 3 x^{- 2} d x$

Этап 3.7

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\int 2 + 4 (x^{1} x^{- 2}) - 3 x^{- 2} d x$

Этап 3.8

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int 2 + 4 x^{1 - 2} - 3 x^{- 2} d x$

Этап 3.9

Вычтем $2$ из $1$ .

$\int 2 + 4 x^{- 1} - 3 x^{- 2} d x$

Этап 3.10

Изменим порядок $2$ и $4 x^{- 1}$ .

$\int 4 x^{- 1} + 2 - 3 x^{- 2} d x$

Этап 3.11

Перенесем $2$ .

$\int 4 x^{- 1} - 3 x^{- 2} + 2 d x$

Этап 4

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int 4 x^{- 1} d x + \int - 3 x^{- 2} d x + \int 2 d x$

Этап 5

Поскольку $4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $4$ из-под знака интеграла.

$4 \int x^{- 1} d x + \int - 3 x^{- 2} d x + \int 2 d x$

Этап 6

Интеграл $x^{- 1}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$4 (\ln (| x |) + C) + \int - 3 x^{- 2} d x + \int 2 d x$

Этап 7

Поскольку $- 3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 3$ из-под знака интеграла.

$4 (\ln (| x |) + C) - 3 \int x^{- 2} d x + \int 2 d x$

Этап 8

По правилу степени интеграл $x^{- 2}$ по $x$ имеет вид $- x^{- 1}$ .

$4 (\ln (| x |) + C) - 3 (- x^{- 1} + C) + \int 2 d x$

Этап 9

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$4 (\ln (| x |) + C) - 3 (- x^{- 1} + C) + 2 x + C$

Этап 10

Упростим.

$4 \ln (| x |) + \frac{3}{x} + 2 x + C$