Математический анализ Примеры

$\int 20 \sqrt[3]{3 x - 2} d x$

Этап 1

Поскольку $20$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $20$ из-под знака интеграла.

$20 \int \sqrt[3]{3 x - 2} d x$

Этап 2

Пусть $u = 3 x - 2$ . Тогда $d u = 3 d x$ , следовательно $\frac{1}{3} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть $u = 3 x - 2$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Дифференцируем $3 x - 2$ .

$\frac{d}{d x} [3 x - 2]$

Этап 2.1.2

По правилу суммы производная $3 x - 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 2.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 2.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 2.1.3.3

Умножим $3$ на $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 2.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2$ относительно $x$ равна $0$ .

$3 + 0$

Этап 2.1.4.2

Добавим $3$ и $0$ .

$3$

Этап 2.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$20 \int \sqrt[3]{u} \frac{1}{3} d u$

Этап 3

Объединим $\sqrt[3]{u}$ и $\frac{1}{3}$ .

$20 \int \frac{\sqrt[3]{u}}{3} d u$

Этап 4

Поскольку $\frac{1}{3}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{3}$ из-под знака интеграла.

$20 (\frac{1}{3} \int \sqrt[3]{u} d u)$

Этап 5

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $20$ .

$\frac{20}{3} \int \sqrt[3]{u} d u$

Этап 5.2

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{u}$ в виде $u^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{20}{3} \int u^{\frac{1}{3}} d u$

Этап 6

По правилу степени интеграл $u^{\frac{1}{3}}$ по $u$ имеет вид $\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{20}{3} (\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C)$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Перепишем $\frac{20}{3} (\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C)$ в виде $\frac{20}{3} \cdot \frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C$ .

$\frac{20}{3} \cdot \frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C$

Этап 7.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Умножим $\frac{20}{3}$ на $\frac{3}{4}$ .

$\frac{20 \cdot 3}{3 \cdot 4} u^{\frac{4}{3}} + C$

Этап 7.2.2

Умножим $20$ на $3$ .

$\frac{60}{3 \cdot 4} u^{\frac{4}{3}} + C$

Этап 7.2.3

Умножим $3$ на $4$ .

$\frac{60}{12} u^{\frac{4}{3}} + C$

Этап 7.2.4

Сократим общий множитель $60$ и $12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.4.1

Вынесем множитель $12$ из $60$ .

$\frac{12 \cdot 5}{12} u^{\frac{4}{3}} + C$

Этап 7.2.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.4.2.1

Вынесем множитель $12$ из $12$ .

$\frac{12 \cdot 5}{12 (1)} u^{\frac{4}{3}} + C$

Этап 7.2.4.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{12 \cdot 5}{12 \cdot 1} u^{\frac{4}{3}} + C$

Этап 7.2.4.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{5}{1} u^{\frac{4}{3}} + C$

Этап 7.2.4.2.4

Разделим $5$ на $1$ .

$5 u^{\frac{4}{3}} + C$

Этап 8

Заменим все вхождения $u$ на $3 x - 2$ .

$5 {(3 x - 2)}^{\frac{4}{3}} + C$