Математический анализ Примеры

$y = 8 \cos (\frac{π}{4} x - \frac{π}{2})$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем, используя правило умножения на константу.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Объединим $\frac{π}{4}$ и $x$ .

$\frac{d}{d x} [8 \cos (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})]$

Этап 1.1.2

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $8 \cos (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})$ по $x$ равна $8 \frac{d}{d x} [\cos (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})]$ .

$8 \frac{d}{d x} [\cos (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \cos (x)$ и $g (x) = \frac{π x}{4} - \frac{π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}$ .

$8 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}])$

Этап 1.2.2

Производная $\cos (u)$ по $u$ равна $- \sin (u)$ .

$8 (- \sin (u) \frac{d}{d x} [\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}])$

Этап 1.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}$ .

$8 (- \sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}])$

Этап 1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Умножим $- 1$ на $8$ .

$- 8 (\sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}])$

Этап 1.3.2

По правилу суммы производная $\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\frac{π x}{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{2}]$ .

$- 8 \sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}) (\frac{d}{d x} [\frac{π x}{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{2}])$

Этап 1.3.3

Поскольку $\frac{π}{4}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{π x}{4}$ по $x$ равна $\frac{π}{4} \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 8 \sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}) (\frac{π}{4} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{2}])$

Этап 1.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 8 \sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}) (\frac{π}{4} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{2}])$

Этап 1.3.5

Умножим $\frac{π}{4}$ на $1$ .

$- 8 \sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}) (\frac{π}{4} + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{2}])$

Этап 1.3.6

Поскольку $- \frac{π}{2}$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{π}{2}$ относительно $x$ равна $0$ .

$- 8 \sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}) (\frac{π}{4} + 0)$

Этап 1.3.7

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.7.1

Добавим $\frac{π}{4}$ и $0$ .

$- 8 \sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}) \frac{π}{4}$

Этап 1.3.7.2

Объединим $\frac{π}{4}$ и $- 8$ .

$\frac{π \cdot - 8}{4} \sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})$

Этап 1.3.7.3

Объединим $\frac{π \cdot - 8}{4}$ и $\sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})$ .

$\frac{π \cdot - 8 \sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})}{4}$

Этап 1.3.7.4

Перенесем $- 8$ влево от $π$ .

$\frac{- 8 \cdot π \sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})}{4}$

Этап 1.3.7.5

Сократим общий множитель $- 8$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.7.5.1

Вынесем множитель $4$ из $- 8 π \sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})$ .

$\frac{4 (- 2 π \sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}))}{4}$

Этап 1.3.7.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.7.5.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$\frac{4 (- 2 π \sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}))}{4 (1)}$

Этап 1.3.7.5.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{4 (- 2 π \sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}))}{4 \cdot 1}$

Этап 1.3.7.5.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- 2 π \sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})}{1}$

Этап 1.3.7.5.2.4

Разделим $- 2 π \sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})$ на $1$ .

$- 2 π \sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $- 2 π$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 π \sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})$ по $x$ равна $- 2 π \frac{d}{d x} [\sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})]$ .

$f'' (x) = - 2 π \frac{d}{d x} \sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \sin (x)$ и $g (x) = \frac{π x}{4} - \frac{π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}$ .

$f'' (x) = - 2 π (\frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}))$

Этап 2.2.2

Производная $\sin (u)$ по $u$ равна $\cos (u)$ .

$f'' (x) = - 2 π (\cos (u) \frac{d}{d x} (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}))$

Этап 2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}$ .

$f'' (x) = - 2 π (\cos (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}))$

Этап 2.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

По правилу суммы производная $\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\frac{π x}{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{2}]$ .

$f'' (x) = - 2 π \cos (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}) (\frac{d}{d x} (\frac{π x}{4}) + \frac{d}{d x} (- \frac{π}{2}))$

Этап 2.3.2

Поскольку $\frac{π}{4}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{π x}{4}$ по $x$ равна $\frac{π}{4} \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 2 π \cos (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}) (\frac{π}{4} \cdot \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- \frac{π}{2}))$

Этап 2.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = - 2 π \cos (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}) (\frac{π}{4} \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- \frac{π}{2}))$

Этап 2.3.4

Умножим $\frac{π}{4}$ на $1$ .

$f'' (x) = - 2 π \cos (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}) (\frac{π}{4} + \frac{d}{d x} (- \frac{π}{2}))$

Этап 2.3.5

Поскольку $- \frac{π}{2}$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{π}{2}$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = - 2 π \cos (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}) (\frac{π}{4} + 0)$

Этап 2.3.6

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.6.1

Добавим $\frac{π}{4}$ и $0$ .

$f'' (x) = - 2 π \cos (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}) \frac{π}{4}$

Этап 2.3.6.2

Объединим $\frac{π}{4}$ и $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{π \cdot - 2}{4} \cdot (π \cos (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}))$

Этап 2.3.6.3

Объединим $\frac{π \cdot - 2}{4}$ и $π$ .

$f'' (x) = \frac{π \cdot (- 2 π)}{4} \cdot \cos (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})$

Этап 2.4

Возведем $π$ в степень $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (π π)}{4} \cdot \cos (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})$

Этап 2.5

Возведем $π$ в степень $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (π π)}{4} \cdot \cos (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})$

Этап 2.6

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = \frac{- 2 π^{1 + 1}}{4} \cdot \cos (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})$

Этап 2.7

Добавим $1$ и $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 π^{2}}{4} \cdot \cos (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})$

Этап 2.8

Объединим $\frac{- 2 π^{2}}{4}$ и $\cos (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 π^{2} \cos (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})}{4}$

Этап 2.9

Сократим общий множитель $- 2$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2 π^{2} \cos (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- π^{2} \cos (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}))}{4}$

Этап 2.9.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- π^{2} \cos (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}))}{2 (2)}$

Этап 2.9.2.2

Сократим общий множитель.

$f'' (x) = \frac{2 (- π^{2} \cos (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}))}{2 \cdot 2}$

Этап 2.9.2.3

Перепишем это выражение.

$f'' (x) = \frac{- π^{2} \cos (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})}{2}$

Этап 2.10

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = - \frac{π^{2} \cos (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})}{2}$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$- 2 π \sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}) = 0$

Этап 4

Разделим каждый член $- 2 π \sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}) = 0$ на $- 2 π$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Разделим каждый член $- 2 π \sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}) = 0$ на $- 2 π$ .

$\frac{- 2 π \sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})}{- 2 π} = \frac{0}{- 2 π}$

Этап 4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Сократим общий множитель $- 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 2 π \sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})}{- 2 π} = \frac{0}{- 2 π}$

Этап 4.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{π \sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})}{π} = \frac{0}{- 2 π}$

Этап 4.2.2

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{π \sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})}{π} = \frac{0}{- 2 π}$

Этап 4.2.2.2

Разделим $\sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})$ на $1$ .

$\sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}) = \frac{0}{- 2 π}$

Этап 4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Сократим общий множитель $0$ и $- 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1

Вынесем множитель $2$ из $0$ .

$\sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}) = \frac{2 (0)}{- 2 π}$

Этап 4.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2 π$ .

$\sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}) = \frac{2 (0)}{2 (- π)}$

Этап 4.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}) = \frac{2 \cdot 0}{2 (- π)}$

Этап 4.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$\sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}) = \frac{0}{- π}$

Этап 4.3.2

Разделим $0$ на $- π$ .

$\sin (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}) = 0$

Этап 5

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$\frac{π x}{4} - \frac{π}{2} = \arcsin (0)$

Этап 6

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Точное значение $\arcsin (0)$ : $0$ .

$\frac{π x}{4} - \frac{π}{2} = 0$

Этап 7

Добавим $\frac{π}{2}$ к обеим частям уравнения.

$\frac{π x}{4} = \frac{π}{2}$

Этап 8

Умножим обе части уравнения на $\frac{4}{π}$ .

$\frac{4}{π} \cdot \frac{π x}{4} = \frac{4}{π} \cdot \frac{π}{2}$

Этап 9

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Упростим $\frac{4}{π} \cdot \frac{π x}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4}{π} \cdot \frac{π x}{4} = \frac{4}{π} \cdot \frac{π}{2}$

Этап 9.1.1.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{4}{π} \cdot \frac{π}{2}$

Этап 9.1.1.2

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1.2.1

Вынесем множитель $π$ из $π x$ .

$\frac{1}{π} (π (x)) = \frac{4}{π} \cdot \frac{π}{2}$

Этап 9.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{4}{π} \cdot \frac{π}{2}$

Этап 9.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$x = \frac{4}{π} \cdot \frac{π}{2}$

Этап 9.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Упростим $\frac{4}{π} \cdot \frac{π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1.1.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$x = \frac{2 (2)}{π} \cdot \frac{π}{2}$

Этап 9.2.1.1.2

Сократим общий множитель.

$x = \frac{2 \cdot 2}{π} \cdot \frac{π}{2}$

Этап 9.2.1.1.3

Перепишем это выражение.

$x = \frac{2}{π} π$

Этап 9.2.1.2

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1.2.1

Сократим общий множитель.

$x = \frac{2}{π} π$

Этап 9.2.1.2.2

Перепишем это выражение.

$x = 2$

Этап 10

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$\frac{π x}{4} - \frac{π}{2} = π - 0$

Этап 11

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Вычтем $0$ из $π$ .

$\frac{π x}{4} - \frac{π}{2} = π$

Этап 11.2

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Добавим $\frac{π}{2}$ к обеим частям уравнения.

$\frac{π x}{4} = π + \frac{π}{2}$

Этап 11.2.2

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{π x}{4} = π \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2}$

Этап 11.2.3

Объединим $π$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{π x}{4} = \frac{π \cdot 2}{2} + \frac{π}{2}$

Этап 11.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{π x}{4} = \frac{π \cdot 2 + π}{2}$

Этап 11.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.5.1

Перенесем $2$ влево от $π$ .

$\frac{π x}{4} = \frac{2 \cdot π + π}{2}$

Этап 11.2.5.2

Добавим $2 π$ и $π$ .

$\frac{π x}{4} = \frac{3 π}{2}$

Этап 11.3

Умножим обе части уравнения на $\frac{4}{π}$ .

$\frac{4}{π} \cdot \frac{π x}{4} = \frac{4}{π} \cdot \frac{3 π}{2}$

Этап 11.4

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.1.1

Упростим $\frac{4}{π} \cdot \frac{π x}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.1.1.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.1.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4}{π} \cdot \frac{π x}{4} = \frac{4}{π} \cdot \frac{3 π}{2}$

Этап 11.4.1.1.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{4}{π} \cdot \frac{3 π}{2}$

Этап 11.4.1.1.2

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.1.1.2.1

Вынесем множитель $π$ из $π x$ .

$\frac{1}{π} (π (x)) = \frac{4}{π} \cdot \frac{3 π}{2}$

Этап 11.4.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{4}{π} \cdot \frac{3 π}{2}$

Этап 11.4.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$x = \frac{4}{π} \cdot \frac{3 π}{2}$

Этап 11.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.2.1

Упростим $\frac{4}{π} \cdot \frac{3 π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.2.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.2.1.1.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$x = \frac{2 (2)}{π} \cdot \frac{3 π}{2}$

Этап 11.4.2.1.1.2

Сократим общий множитель.

$x = \frac{2 \cdot 2}{π} \cdot \frac{3 π}{2}$

Этап 11.4.2.1.1.3

Перепишем это выражение.

$x = \frac{2}{π} (3 π)$

Этап 11.4.2.1.2

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.2.1.2.1

Вынесем множитель $π$ из $3 π$ .

$x = \frac{2}{π} (π \cdot 3)$

Этап 11.4.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$x = \frac{2}{π} (π \cdot 3)$

Этап 11.4.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$x = 2 \cdot 3$

Этап 11.4.2.1.3

Умножим $2$ на $3$ .

$x = 6$

Этап 12

Решение уравнения $\frac{π x}{4} - \frac{π}{2} = 0$ .

$x = 2, 6$

Этап 13

Найдем вторую производную в $x = 2$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- \frac{π^{2} \cos (\frac{π (2)}{4} - \frac{π}{2})}{2}$

Этап 14

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Сократим общий множитель $2$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1.1

Вынесем множитель $2$ из $π (2)$ .

$- \frac{π^{2} \cos (\frac{2 π}{4} - \frac{π}{2})}{2}$

Этап 14.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$- \frac{π^{2} \cos (\frac{2 π}{2 \cdot 2} - \frac{π}{2})}{2}$

Этап 14.1.2.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{π^{2} \cos (\frac{2 π}{2 \cdot 2} - \frac{π}{2})}{2}$

Этап 14.1.2.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{π^{2} \cos (\frac{π}{2} - \frac{π}{2})}{2}$

Этап 14.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \frac{π^{2} \cos (\frac{π - π}{2})}{2}$

Этап 14.2.2

Вычтем $π$ из $π$ .

$- \frac{π^{2} \cos (\frac{0}{2})}{2}$

Этап 14.2.3

Разделим $0$ на $2$ .

$- \frac{π^{2} \cos (0)}{2}$

Этап 14.2.4

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$- \frac{π^{2} \cdot 1}{2}$

Этап 14.3

Умножим $π^{2}$ на $1$ .

$- \frac{π^{2}}{2}$

Этап 15

$x = 2$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = 2$ — локальный максимум

Этап 16

Найдем значение y, если $x = 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2$ .

$f (2) = 8 \cos (\frac{π}{4} \cdot (2) - \frac{π}{2})$

Этап 16.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$f (2) = 8 \cos (\frac{π}{2 (2)} \cdot 2 - \frac{π}{2})$

Этап 16.2.1.2

Сократим общий множитель.

$f (2) = 8 \cos (\frac{π}{2 \cdot 2} \cdot 2 - \frac{π}{2})$

Этап 16.2.1.3

Перепишем это выражение.

$f (2) = 8 \cos (\frac{π}{2} - \frac{π}{2})$

Этап 16.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (2) = 8 \cos (\frac{π - π}{2})$

Этап 16.2.3

Вычтем $π$ из $π$ .

$f (2) = 8 \cos (\frac{0}{2})$

Этап 16.2.4

Разделим $0$ на $2$ .

$f (2) = 8 \cos (0)$

Этап 16.2.5

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$f (2) = 8 \cdot 1$

Этап 16.2.6

Умножим $8$ на $1$ .

$f (2) = 8$

Этап 16.2.7

Окончательный ответ: $8$ .

$y = 8$

Этап 17

Найдем вторую производную в $x = 6$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- \frac{π^{2} \cos (\frac{π (6)}{4} - \frac{π}{2})}{2}$

Этап 18

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.1

Сократим общий множитель $6$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.1.1

Вынесем множитель $2$ из $π (6)$ .

$- \frac{π^{2} \cos (\frac{2 (π \cdot (3))}{4} - \frac{π}{2})}{2}$

Этап 18.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$- \frac{π^{2} \cos (\frac{2 (π \cdot (3))}{2 (2)} - \frac{π}{2})}{2}$

Этап 18.1.2.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{π^{2} \cos (\frac{2 (π \cdot (3))}{2 \cdot 2} - \frac{π}{2})}{2}$

Этап 18.1.2.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{π^{2} \cos (\frac{π \cdot (3)}{2} - \frac{π}{2})}{2}$

Этап 18.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \frac{π^{2} \cos (\frac{π \cdot 3 - π}{2})}{2}$

Этап 18.2.2

Перенесем $3$ влево от $π$ .

$- \frac{π^{2} \cos (\frac{3 π - π}{2})}{2}$

Этап 18.2.3

Вычтем $π$ из $3 π$ .

$- \frac{π^{2} \cos (\frac{2 π}{2})}{2}$

Этап 18.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.2.4.1

Сократим общий множитель.

$- \frac{π^{2} \cos (\frac{2 π}{2})}{2}$

Этап 18.2.4.2

Разделим $π$ на $1$ .

$- \frac{π^{2} \cos (π)}{2}$

Этап 18.2.5

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как косинус отрицательный во втором квадранте.

$- \frac{π^{2} (- \cos (0))}{2}$

Этап 18.2.6

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$- \frac{π^{2} (- 1 \cdot 1)}{2}$

Этап 18.2.7

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- \frac{π^{2} \cdot - 1}{2}$

Этап 18.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.3.1

Перенесем $- 1$ влево от $π^{2}$ .

$- \frac{- 1 \cdot π^{2}}{2}$

Этап 18.3.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- - \frac{π^{2}}{2}$

Этап 18.4

Умножим $- - \frac{π^{2}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.4.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 \frac{π^{2}}{2}$

Этап 18.4.2

Умножим $\frac{π^{2}}{2}$ на $1$ .

$\frac{π^{2}}{2}$

Этап 19

$x = 6$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = 6$ — локальный минимум

Этап 20

Найдем значение y, если $x = 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 20.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $6$ .

$f (6) = 8 \cos (\frac{π}{4} \cdot (6) - \frac{π}{2})$

Этап 20.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 20.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 20.2.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 20.2.1.1.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$f (6) = 8 \cos (\frac{π}{2 (2)} \cdot 6 - \frac{π}{2})$

Этап 20.2.1.1.2

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$f (6) = 8 \cos (\frac{π}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot 3) - \frac{π}{2})$

Этап 20.2.1.1.3

Сократим общий множитель.

$f (6) = 8 \cos (\frac{π}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot 3) - \frac{π}{2})$

Этап 20.2.1.1.4

Перепишем это выражение.

$f (6) = 8 \cos (\frac{π}{2} \cdot 3 - \frac{π}{2})$

Этап 20.2.1.2

Объединим $\frac{π}{2}$ и $3$ .

$f (6) = 8 \cos (\frac{π \cdot 3}{2} - \frac{π}{2})$

Этап 20.2.1.3

Перенесем $3$ влево от $π$ .

$f (6) = 8 \cos (\frac{3 π}{2} - \frac{π}{2})$

Этап 20.2.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 20.2.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (6) = 8 \cos (\frac{3 π - π}{2})$

Этап 20.2.2.2

Вычтем $π$ из $3 π$ .

$f (6) = 8 \cos (\frac{2 π}{2})$

Этап 20.2.2.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 20.2.2.3.1

Сократим общий множитель.

$f (6) = 8 \cos (\frac{2 π}{2})$

Этап 20.2.2.3.2

Разделим $π$ на $1$ .

$f (6) = 8 \cos (π)$

Этап 20.2.3

$f (6) = 8 (- \cos (0))$

Этап 20.2.4

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$f (6) = 8 (- 1 \cdot 1)$

Этап 20.2.5

Умножим $8 (- 1 \cdot 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 20.2.5.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f (6) = 8 \cdot - 1$

Этап 20.2.5.2

Умножим $8$ на $- 1$ .

$f (6) = - 8$

Этап 20.2.6

Окончательный ответ: $- 8$ .

$y = - 8$

Этап 21

Это локальные экстремумы $f (x) = 8 \cos (\frac{π}{4} x - \frac{π}{2})$ .

$(2, 8)$ — локальный максимум

$(6, - 8)$ — локальный минимум

Этап 22